Question

设 $\triangle ABC$ 的边长为 $AB = 5$ 、 $BC = 9$ 、 $CA = 10$ 。在 $\triangle ABC$ 的外接圆上，过 $B$ 和 $C$ 作切线，两条切线交于点 $D$ ，且 $\overline{AD}$ 与外接圆交于 $P \ne A$ 。长度 $AP$ 等于 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质整数。求 $m + n$ 。

Let $\triangle ABC$ have side lengths $AB = 5,$ $BC = 9,$ and $CA = 10.$ The tangents to the circumcircle of $\triangle ABC$ at $B$ and $C$ intersect at point $D,$ and $\overline{AD}$ intersects the circumcircle at $P \ne A.$ The length of $AP$ is equal to $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime integers. Find $m + n.$

答案

答案：113

知识点：圆幂切线余弦定理

难度评级：2920

解答：

由切线-弦定理， $\angle DBC = \angle DCB = \angle A$ ，所以三角形 $DBC$ 是等腰三角形，且 $DB = \frac{BC/2}{\cos A}$ 。余弦定理给出 $\cos A = \frac{10^2 + 5^2 - 9^2}{2 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{11}{25}$ 和 $\cos B = \frac{9^2 + 5^2 - 10^2}{2 \cdot 9 \cdot 5} = \frac{1}{15}$ ，所以 $DB = \frac{9/2}{11/25} = \frac{225}{22}$ 。

因为 $D$ 位于 $BC$ 与 $A$ 相对的一侧， $\angle ABD = A + B$ ，且 $\begin{aligned} &\cos(A + B) \\ &= \frac{11}{25} \cdot \frac{1}{15} \\ &\quad {}- \frac{6\sqrt{14}}{25} \cdot \frac{4\sqrt{14}}{15} \\ &= \frac{11 - 336}{375} \\ &= -\frac{13}{15}. \end{aligned}$ 因此在三角形 $ABD$ 中使用余弦定理，得到 $\begin{aligned} &DA^2 = 5^2 + \left(\tfrac{225}{22}\right)^2 \\ &\quad {}+ 2 \cdot 5 \cdot \tfrac{225}{22} \cdot \tfrac{13}{15} \\ &= \frac{105625}{484}, \end{aligned}$ 所以 $DA = \frac{325}{22}.$

点 $D$ 的幂给出 $DP \cdot DA = DB^2$ ，所以 $\begin{aligned} &AP = DA - \frac{DB^2}{DA} \\ &= \frac{DA^2 - DB^2}{DA} \\ &= \frac{(105625 - 50625)/484}{325/22} \\ &= \frac{55000}{22 \cdot 325} \\ &= \frac{100}{13}, \end{aligned}$ 因此 $m + n = 100 + 13 = 113$ 。

By the tangent-chord angle, $\angle DBC = \angle DCB = \angle A,$ so triangle $DBC$ is isosceles with $DB = \frac{BC/2}{\cos A}.$ The law of cosines gives $\cos A = \frac{10^2 + 5^2 - 9^2}{2 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{11}{25}$ and $\cos B = \frac{9^2 + 5^2 - 10^2}{2 \cdot 9 \cdot 5} = \frac{1}{15},$ so $DB = \frac{9/2}{11/25} = \frac{225}{22}.$

Since $D$ lies on the opposite side of $BC$ from $A,$ $\angle ABD = A + B,$ and $\begin{aligned} &\cos(A + B) \\ &= \frac{11}{25} \cdot \frac{1}{15} \\ &\quad {}- \frac{6\sqrt{14}}{25} \cdot \frac{4\sqrt{14}}{15} \\ &= \frac{11 - 336}{375} \\ &= -\frac{13}{15}. \end{aligned}$ The law of cosines in triangle $ABD$ then gives $\begin{aligned} &DA^2 = 5^2 + \left(\tfrac{225}{22}\right)^2 \\ &\quad {}+ 2 \cdot 5 \cdot \tfrac{225}{22} \cdot \tfrac{13}{15} \\ &= \frac{105625}{484}, \end{aligned}$ $DA = \frac{325}{22}.$

The power of $D$ gives $DP \cdot DA = DB^2,$ so $\begin{aligned} &AP = DA - \frac{DB^2}{DA} \\ &= \frac{DA^2 - DB^2}{DA} \\ &= \frac{(105625 - 50625)/484}{325/22} \\ &= \frac{55000}{22 \cdot 325} \\ &= \frac{100}{13}, \end{aligned}$ and $m + n = 100 + 13 = 113.$

2024 AIME I 第 10 题

答案：113

难度评级：2920

解答：

其他年份的第 10 题