Question

在 $\triangle ABC$ 中，边长 $AB = 13$ 、 $BC = 14$ 、 $CA = 15$ ，令 $M$ 为 $\overline{BC}$ 的中点。令 $P$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆上的一点，使得 $M$ 在 $\overline{AP}$ 上。在线段 $\overline{AM}$ 上存在唯一一点 $Q$ ，使得 $\angle PBQ = \angle PCQ$ 。则 $AQ$ 可写为 $\frac{m}{\sqrt{n}}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

In $\triangle ABC$ with side lengths $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $CA = 15,$ let $M$ be the midpoint of $\overline{BC}.$ Let $P$ be the point on the circumcircle of $\triangle ABC$ such that $M$ is on $\overline{AP}.$ There exists a unique point $Q$ on segment $\overline{AM}$ such that $\angle PBQ = \angle PCQ.$ Then $AQ$ can be written as $\frac{m}{\sqrt{n}},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：247

知识点：坐标几何圆幂向量

难度评级：3160

解答：

取 $B = (0, 0)$ 、 $C = (14, 0)$ 、 $A = (5, 12)$ ，则 $M = (7, 0)$ ，并且 $AM = \sqrt{4 + 144} = 2\sqrt{37}$ 。由点 $M$ 关于外接圆的幂， $MA \cdot MP = MB \cdot MC = 49$ ，所以 $MP = \frac{49}{2\sqrt{37}}$ 。从 $A \to M$ 的方向继续延长这段长度，得到 $P = \left(\frac{567}{74}, -\frac{147}{37}\right)$ 。向量 $\overrightarrow{BP}$ 的方向与 $(27, -14)$ 成比例，向量 $\overrightarrow{CP}$ 的方向与 $-(67, 42)$ 成比例。

令 $Q = (5 + 2t,\ 12 - 12t)$ ，其中 $t \in (0, 1)$ ，于是 $AQ = t \cdot AM$ 。用 $\tan\theta = \frac{|u \times v|}{u \cdot v}$ 表示两条射线夹角的正切，得 $\begin{gathered} \tan\angle PBQ = \frac{394 - 296t}{222t - 33}, \\ \tan\angle PCQ = \frac{1182 - 888t}{370t + 99}, \end{gathered}$ 第二个分子恰好是 $3(394 - 296t)$ 。令两个正切相等，约去这个公共因子，留下 $370t + 99 = 3(222t - 33)$ ，所以 $296t = 198$ ， $t = \frac{99}{148}$ 。

因而 $AQ = \frac{99}{148} \cdot 2\sqrt{37}$ $= \frac{99}{148}\sqrt{148}$ $= \frac{99}{\sqrt{148}}$ ，由于 $\gcd(99, 148) = 1$ ，答案是 $99 + 148 = 247$ 。

Place $B = (0, 0),$ $C = (14, 0),$ $A = (5, 12),$ so $M = (7, 0)$ and $AM = \sqrt{4 + 144} = 2\sqrt{37}.$ By power of the point $M$ in the circumcircle, $MA \cdot MP = MB \cdot MC = 49,$ so $MP = \frac{49}{2\sqrt{37}}$ and extending $A \to M$ by that length gives $P = \left(\frac{567}{74}, -\frac{147}{37}\right).$ The direction of $\overrightarrow{BP}$ is proportional to $(27, -14),$ and the direction of $\overrightarrow{CP}$ is proportional to $-(67, 42).$

Write $Q = (5 + 2t,\ 12 - 12t)$ for $t \in (0, 1),$ so that $AQ = t \cdot AM.$ Using $\tan\theta = \frac{|u \times v|}{u \cdot v}$ for the angle between rays, $\begin{gathered} \tan\angle PBQ = \frac{394 - 296t}{222t - 33}, \\ \tan\angle PCQ = \frac{1182 - 888t}{370t + 99}, \end{gathered}$ and the second numerator is exactly $3(394 - 296t).$ Setting the two tangents equal cancels this common factor and leaves $370t + 99 = 3(222t - 33),$ so $296t = 198$ and $t = \frac{99}{148}.$

Then $AQ = \frac{99}{148} \cdot 2\sqrt{37}$ $= \frac{99}{148}\sqrt{148}$ $= \frac{99}{\sqrt{148}},$ and since $\gcd(99, 148) = 1,$ the answer is $99 + 148 = 247.$

2023 AIME II 第 12 题

答案：247

难度评级：3160

解答：

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