Question

圆 $C_0$ 的半径为 $1$ ，点 $A_0$ 在该圆上。圆 $C_1$ 的半径为 $r \lt 1$ ，且在点 $A_0$ 处内切于 $C_0$ 。点 $A_1$ 位于圆 $C_1$ 上，并且 $A_1$ 在 $C_1$ 上从 $A_0$ 逆时针转过 $90^\circ$ 的位置。圆 $C_2$ 的半径为 $r^2$ ，且在点 $A_1$ 处内切于 $C_1$ 。按这种方式构造一列圆 $C_1, C_2, C_3, \ldots$ 和一列圆上的点 $A_1, A_2, A_3, \ldots$ ：圆 $C_n$ 的半径为 $r^n$ ，并在点 $A_{n-1}$ 处内切于圆 $C_{n-1}$ ，而点 $A_n$ 位于 $C_n$ 上，且相对于点 $A_{n-1}$ 逆时针转过 $90^\circ$ ，如下图所示。有一个点 $B$ 位于所有这些圆的内部。当 $r = \frac{11}{60}$ 时，从 $C_0$ 的圆心到 $B$ 的距离为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

Circle $C_0$ has radius $1,$ and the point $A_0$ is a point on the circle. Circle $C_1$ has radius $r \lt 1$ and is internally tangent to $C_0$ at point $A_0.$ Point $A_1$ lies on circle $C_1$ so that $A_1$ is located $90^\circ$ counterclockwise from $A_0$ on $C_1.$ Circle $C_2$ has radius $r^2$ and is internally tangent to $C_1$ at point $A_1.$ In this way a sequence of circles $C_1, C_2, C_3, \ldots$ and a sequence of points on the circles $A_1, A_2, A_3, \ldots$ are constructed, where circle $C_n$ has radius $r^n$ and is internally tangent to circle $C_{n-1}$ at point $A_{n-1},$ and point $A_n$ lies on $C_n$ $90^\circ$ counterclockwise from point $A_{n-1},$ as shown in the figure below. There is one point $B$ inside all of these circles. When $r = \frac{11}{60},$ the distance from the center of $C_0$ to $B$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：110

知识点：复数等比数列相切圆

难度评级：3060

解答：

在复平面中工作，令 $C_0$ 的圆心为 $O_0 = 0$ ，并令 $A_0 = 1$ ，设 $O_n$ 为 $C_n$ 的圆心。归纳可得 $A_n = O_n + r^n i^n$ ：当 $n = 0$ 时成立；若 $C_{n+1}$ 在 $A_n$ 处内切于 $C_n$ ，则它的圆心为 $O_{n+1} = A_n - r^{n+1} i^n$ ；此时 $A_n$ 从 $O_{n+1}$ ，看处在方向 $i^n$ 上，因而逆时针旋转 $90^\circ$ 后有 $A_{n+1} = O_{n+1} + r^{n+1} i^{n+1}$ 。

因此 $O_{n+1} - O_n$ $= (r^n - r^{n+1})\, i^n$ $= (1 - r)(ir)^n$ 。这些圆是嵌套的，且半径趋于 $0$ ，所以公共点 $B$ 是圆心的极限： $B = (1 - r)\sum_{n=0}^{\infty} (ir)^n = \frac{1 - r}{1 - ir},$ 它到原点的距离为 $\frac{1 - r}{|1 - ir|} = \frac{1 - r}{\sqrt{1 + r^2}}$ 。

当 $r = \frac{11}{60}$ 时，这个距离为 $\frac{49/60}{\sqrt{3721}/60} = \frac{49}{61}$ ，所以 $m + n = 49 + 61 = 110$ 。

Work in the complex plane with $C_0$ centered at $O_0 = 0$ and $A_0 = 1,$ and let $O_n$ be the center of $C_n.$ Inductively, $A_n = O_n + r^n i^n:$ this holds for $n = 0,$ and since $C_{n+1}$ is internally tangent to $C_n$ at $A_n,$ its center is $O_{n+1} = A_n - r^{n+1} i^n;$ then $A_n$ sits in direction $i^n$ from $O_{n+1},$ so rotating $90^\circ$ counterclockwise gives $A_{n+1} = O_{n+1} + r^{n+1} i^{n+1}.$

Therefore $O_{n+1} - O_n$ $= (r^n - r^{n+1})\, i^n$ $= (1 - r)(ir)^n.$ The circles are nested, and their radii shrink to $0,$ so the common point $B$ is the limit of the centers: $B = (1 - r)\sum_{n=0}^{\infty} (ir)^n = \frac{1 - r}{1 - ir},$ at distance $\frac{1 - r}{|1 - ir|} = \frac{1 - r}{\sqrt{1 + r^2}}$ from the origin.

For $r = \frac{11}{60}$ this equals $\frac{49/60}{\sqrt{3721}/60} = \frac{49}{61},$ so $m + n = 49 + 61 = 110.$

2017 AIME II 第 12 题

答案：110

难度评级：3060

解答：

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