Question

三角形 $ABC$ 内接于圆 $\omega$ 。点 $P$ 与 $Q$ 在边 $\overline{AB}$ 上，且 $AP \lt AQ$ 。射线 $CP$ 与 $CQ$ 分别再次交 $\omega$ 于 $S$ 与 $T$ （不同于 $C$ ）。若 $AP = 4$ 、 $PQ = 3$ 、 $QB = 6$ 、 $BT = 5$ 、 $AS = 7$ ，且 $ST = \frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 与 $n$ 是互质的正整数，求 $m + n$ 。

Triangle $ABC$ is inscribed in circle $\omega.$ Points $P$ and $Q$ are on side $\overline{AB}$ with $AP \lt AQ.$ Rays $CP$ and $CQ$ meet $\omega$ again at $S$ and $T$ (other than $C$ ), respectively. If $AP = 4,$ $PQ = 3,$ $QB = 6,$ $BT = 5,$ and $AS = 7,$ then $ST = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：43

知识点：圆幂圆内接四边形导角相似

难度评级：3060

解答：

由 $Q$ 对圆 $\omega$ 的幂， $QC \cdot QT = QA \cdot QB$ $= 7 \cdot 6 = 42$ 。将 $\overline{AB}$ 向 $B$ 外延长到点 $R$ ，使 $BR = 8$ ，于是 $QR = QB + BR = 14$ ，且 $QP \cdot QR = 3 \cdot 14$ $= 42 = QC \cdot QT$ 。由点幂定理的逆定理， $C$ 、 $P$ 、 $T$ 、 $R$ 共圆。

在圆 $CPTR$ 中， $\angle BRT = \angle PRT = \angle PCT$ ；在 $\omega$ 中， $\angle PCT = \angle SCT = \angle SAT$ （它们都对弧 $ST$ ）。此外 $ASTB$ 共圆，所以这个四边形在 $B$ 处的外角等于对面的内角： $\angle RBT = \angle AST$ 。因此 $\triangle AST \sim \triangle RBT$ 。

因此 $\frac{ST}{BT} = \frac{AS}{RB}$ ，所以 $ST = 5 \cdot \frac{7}{8} = \frac{35}{8}$ ，从而 $m + n = 35 + 8 = 43$ 。

By Power of a Point at $Q$ in $\omega,$ $QC \cdot QT = QA \cdot QB$ $= 7 \cdot 6 = 42.$ Extend $\overline{AB}$ beyond $B$ to the point $R$ with $BR = 8,$ so that $QR = QB + BR = 14$ and $QP \cdot QR = 3 \cdot 14$ $= 42 = QC \cdot QT.$ By the converse of Power of a Point, $C,$ $P,$ $T,$ and $R$ are concyclic.

In circle $CPTR,$ $\angle BRT = \angle PRT = \angle PCT,$ and in $\omega,$ $\angle PCT = \angle SCT = \angle SAT$ (both subtend arc $ST$ ). Also $ASTB$ is cyclic, so the exterior angle of the quadrilateral at $B$ equals the opposite interior angle: $\angle RBT = \angle AST.$ Hence $\triangle AST \sim \triangle RBT.$

Therefore $\frac{ST}{BT} = \frac{AS}{RB},$ so $ST = 5 \cdot \frac{7}{8} = \frac{35}{8},$ and $m + n = 35 + 8 = 43.$

2016 AIME II 第 10 题

答案：43

难度评级：3060

解答：

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