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2014 AIME II 第 8 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

8.

半径为 22 的圆 CC 有直径 AB‾\overline{AB}。圆 DD 在点 AA 与圆 CC 内切。圆 EE 与圆 CC 内切、与圆 DD 外切，并与 AB‾\overline{AB} 相切。圆 DD 的半径是圆 EE 半径的三倍，并可写成 m−n\sqrt{m} - n，其中 mm 和 nn 是正整数。求 m+nm + n。

Circle CC with radius 22 has diameter AB‾.\overline{AB}. Circle DD is internally tangent to circle CC at A.A. Circle EE is internally tangent to circle C,C, externally tangent to circle D,D, and tangent to AB‾.\overline{AB}. The radius of circle DD is three times the radius of circle EE and can be written in the form m−n,\sqrt{m} - n, where mm and nn are positive integers. Find m+n.m + n.

答案：254
知识点：相切圆勾股定理根式
难度评级：2710
解答：

也用 CC、DD、EE 表示这些圆的圆心。设圆 EE 的半径为 ss，则圆 DD 的半径为 3s3s，并设 FF 是 EE 到 AB‾\overline{AB} 的垂足。相切关系给出 CE=2−sCE = 2 - s，DE=3s+s=4sDE = 3s + s = 4s，EF=sEF = s，而 DD 在 AB‾\overline{AB} 上且 DC=2−3sDC = 2 - 3s。

直角三角形 CEFCEF 和 DEFDEF 给出 CF=(2−s)2−s2CF = \sqrt{(2-s)^2 - s^2} =4−4s= \sqrt{4 - 4s}，以及 DF=(4s)2−s2=s15DF = \sqrt{(4s)^2 - s^2} = s\sqrt{15}。因为 FF 与 AA 位于 CC 的相反侧，所以 DF=DC+CFDF = DC + CF，即 s15=(2−3s)+4−4s.s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s}.

将 2−3s2 - 3s 移到左边并平方，得到 24s2−8s=215 s (2−3s)24s^2 - 8s = 2\sqrt{15}\,s\,(2 - 3s)，也就是 12s−4=15 (2−3s)12s - 4 = \sqrt{15}\,(2 - 3s)；再次平方得 9s2+84s−44=09s^2 + 84s - 44 = 0，所以 s=−14+4153s = \frac{-14 + 4\sqrt{15}}{3}。圆 DD 的半径为 3s=415−14=240−143s = 4\sqrt{15} - 14 = \sqrt{240} - 14，因此 m+n=240+14=254m + n = 240 + 14 = 254。

Let C,C, D,D, EE also name the circles' centers, let ss be the radius of circle E,E, so circle DD has radius 3s,3s, and let FF be the foot of EE on AB‾.\overline{AB}. Tangency gives CE=2−s,CE = 2 - s, DE=3s+s=4s,DE = 3s + s = 4s, and EF=s,EF = s, while DD lies on AB‾\overline{AB} with DC=2−3s.DC = 2 - 3s.

Right triangles CEFCEF and DEFDEF give CF=(2−s)2−s2CF = \sqrt{(2-s)^2 - s^2} =4−4s= \sqrt{4 - 4s} and DF=(4s)2−s2=s15.DF = \sqrt{(4s)^2 - s^2} = s\sqrt{15}. Since FF is on the opposite side of CC from A,A, we have DF=DC+CF,DF = DC + CF, so s15=(2−3s)+4−4s.s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s}.

Moving 2−3s2 - 3s to the left and squaring gives 24s2−8s=215 s (2−3s),24s^2 - 8s = 2\sqrt{15}\,s\,(2 - 3s), i.e. 12s−4=15 (2−3s);12s - 4 = \sqrt{15}\,(2 - 3s); squaring again yields 9s2+84s−44=0,9s^2 + 84s - 44 = 0, so s=−14+4153.s = \frac{-14 + 4\sqrt{15}}{3}. The radius of circle DD is 3s=415−14=240−14,3s = 4\sqrt{15} - 14 = \sqrt{240} - 14, and m+n=240+14=254.m + n = 240 + 14 = 254.

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