Question

求满足 $\begin{aligned} &\arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{4} \\ &\quad {}+ \arctan\frac{1}{5} + \arctan\frac{1}{n} = \frac{\pi}{4}. \end{aligned}$ 的正整数 $n$ 。

Find the positive integer $n$ such that $\begin{aligned} &\arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{4} \\ &\quad {}+ \arctan\frac{1}{5} + \arctan\frac{1}{n} = \frac{\pi}{4}. \end{aligned}$

答案

答案：47

知识点：三角学三角恒等式

难度评级：2360

解答：

对满足 $xy \lt 1$ 的正数 $x, y$ ，正切加法公式给出 $\arctan x + \arctan y$ $= \arctan\frac{x + y}{1 - xy}$ 。应用两次： $\begin{aligned} &\arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{4} \\ &= \arctan\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{12}} \\ &= \arctan\frac{7}{11}, \\ &\arctan\frac{7}{11} + \arctan\frac{1}{5} \\ &= \arctan\frac{\frac{7}{11} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{7}{55}} \\ &= \arctan\frac{23}{24}. \end{aligned}$

方程变为 $\arctan\frac{23}{24}$ $+ \arctan\frac{1}{n} = \arctan 1$ ，所以 $\frac{23/24 + 1/n}{1 - 23/(24n)} = 1$ 。清除分母得 $23n + 24 = 24n - 23$ ，因此 $n = 47$ 。

For positive $x, y$ with $xy \lt 1,$ the tangent addition formula gives $\arctan x + \arctan y$ $= \arctan\frac{x + y}{1 - xy}.$ Applying it twice: $\begin{aligned} &\arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{4} \\ &= \arctan\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{12}} \\ &= \arctan\frac{7}{11}, \\ &\arctan\frac{7}{11} + \arctan\frac{1}{5} \\ &= \arctan\frac{\frac{7}{11} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{7}{55}} \\ &= \arctan\frac{23}{24}. \end{aligned}$

The equation becomes $\arctan\frac{23}{24}$ $+ \arctan\frac{1}{n} = \arctan 1,$ so $\frac{23/24 + 1/n}{1 - 23/(24n)} = 1.$ Clearing denominators, $23n + 24 = 24n - 23,$ giving $n = 47.$

2008 AIME I 第 8 题

答案：47

难度评级：2360

解答：

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