Question

等边 $\triangle ABC$ 内接于半径为 $2$ 的圆。将 $\overline{AB}$ 经过 $B$ 延长到点 $D$ ，使 $AD = 13$ ，并将 $\overline{AC}$ 经过 $C$ 延长到点 $E$ ，使 $AE = 11$ 。过 $D$ ，作直线 $\ell_1$ 平行于 $\overline{AE}$ ，过 $E$ ，作直线 $\ell_2$ 平行于 $\overline{AD}$ 。令 $F$ 为 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 的交点。令 $G$ 为圆上与 $A$ 和 $F$ 共线且不同于 $A$ 的点。已知 $\triangle CBG$ 的面积可表示为 $\frac{p\sqrt{q}}{r}$ ，其中 $p$ ， $q$ ，和 $r$ 是正整数， $p$ 与 $r$ 互质，且 $q$ 不被任何质数的平方整除，求 $p + q + r$ 。

Equilateral $\triangle ABC$ is inscribed in a circle of radius $2.$ Extend $\overline{AB}$ through $B$ to point $D$ so that $AD = 13,$ and extend $\overline{AC}$ through $C$ to point $E$ so that $AE = 11.$ Through $D,$ draw a line $\ell_1$ parallel to $\overline{AE},$ and through $E,$ draw a line $\ell_2$ parallel to $\overline{AD}.$ Let $F$ be the intersection of $\ell_1$ and $\ell_2.$ Let $G$ be the point on the circle that is collinear with $A$ and $F$ and distinct from $A.$ Given that the area of $\triangle CBG$ can be expressed in the form $\frac{p\sqrt{q}}{r},$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive integers, $p$ and $r$ are relatively prime, and $q$ is not divisible by the square of any prime, find $p + q + r.$

答案

答案：865

知识点：相似圆周角余弦定理平行四边形

难度评级：3060

解答：

根据构造， $ADFE$ 是平行四边形，其中 $AD = 13$ ， $DF = AE = 11$ ，且 $\angle ADF = 180^\circ - \angle DAE$ $= 120^\circ$ 。因此 $[ADF] = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 11 \sin 120^\circ$ $= \frac{143\sqrt{3}}{4}$ ，由余弦定理， $\begin{aligned} AF^2 &= 13^2 + 11^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 13 \cdot 11 \cos 120^\circ \\ &= 169 + 121 + 143 \\ &= 433. \end{aligned}$

因为 $G$ 在圆上，圆周角给出 $\angle GCB = \angle GAB = \angle FAD$ （都截同一段弧 $GB$ ）以及 $\angle CBG = \angle CAG$ （都截同一段弧 $CG$ ）；并且 $\angle CAG = \angle AFD$ ，因为 $\overline{AE} \parallel \overline{DF}$ 。所以 $\triangle CBG \sim \triangle AFD$ ，相似比为 $\frac{CB}{AF}$ 内接于半径 $2$ 的圆的等边三角形边长为 $BC = 2\sqrt{3}$ 。

因此且 $p + q + r$ $= 429 + 3 + 433$ $= 865$ 。 $\begin{aligned} [CBG] &= \left(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{433}}\right)^2 \cdot \frac{143\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{12}{433} \cdot \frac{143\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{429\sqrt{3}}{433}, \end{aligned}$

By construction $ADFE$ is a parallelogram with $AD = 13,$ $DF = AE = 11,$ and $\angle ADF = 180^\circ - \angle DAE$ $= 120^\circ.$ Hence $[ADF] = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 11 \sin 120^\circ$ $= \frac{143\sqrt{3}}{4},$ and by the law of cosines, $\begin{aligned} AF^2 &= 13^2 + 11^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 13 \cdot 11 \cos 120^\circ \\ &= 169 + 121 + 143 \\ &= 433. \end{aligned}$

Since $G$ lies on the circle, inscribed angles give $\angle GCB = \angle GAB = \angle FAD$ (both subtend arc $GB$ ) and $\angle CBG = \angle CAG$ (both subtend arc $CG$ ); and $\angle CAG = \angle AFD$ because $\overline{AE} \parallel \overline{DF}.$ So $\triangle CBG \sim \triangle AFD$ with ratio $\frac{CB}{AF}.$ The side of an equilateral triangle inscribed in a circle of radius $2$ is $BC = 2\sqrt{3}.$

Therefore $\begin{aligned} [CBG] &= \left(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{433}}\right)^2 \cdot \frac{143\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{12}{433} \cdot \frac{143\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{429\sqrt{3}}{433}, \end{aligned}$ and $p + q + r$ $= 429 + 3 + 433$ $= 865.$

2006 AIME II 第 12 题

答案：865

难度评级：3060

解答：

其他年份的第 12 题