Question

数列 $a_1, a_2, \ldots$ 是等比数列， $a_1 = a$ ，公比为 $r$ ，其中 $a$ 和 $r$ 都是正整数。已知 $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \cdots + \log_8 a_{12}$ $= 2006$ ，求有序数对 $(a, r)$ 的可能个数。

The sequence $a_1, a_2, \ldots$ is geometric with $a_1 = a$ and common ratio $r,$ where $a$ and $r$ are positive integers. Given that $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \cdots + \log_8 a_{12}$ $= 2006,$ find the number of possible ordered pairs $(a, r).$

答案

答案：46

知识点：对数等比数列丢番图方程

难度评级：2450

解答：

对数之和为 $\log_8 (a_1 a_2 \cdots a_{12}) = \log_8\!\left(a^{12} r^{66}\right)$ ，所以 $a^{12} r^{66} = 8^{2006} = 2^{6018}$ ，从而 $a^2 r^{11} = 2^{1003}$ 。

因此 $a$ 和 $r$ 都是 $2$ 的幂：写 $a = 2^x$ ， $r = 2^y$ ，其中整数 $x, y \ge 0$ 且 $2x + 11y = 1003$ 。因为 $2x$ 是偶数而 $1003$ 是奇数， $y$ 必须为奇数，设 $y = 2k - 1$ ，其中 $k \ge 1$ 。则 $x = 507 - 11k \ge 0$ 当且仅当 $k \le \lfloor 507/11 \rfloor = 46$ 。

每个 $k = 1, 2, \ldots, 46$ 给出一个数对，所以有 $46$ 个有序数对 $(a, r)$ 。

The sum of the logarithms is $\log_8 (a_1 a_2 \cdots a_{12}) = \log_8\!\left(a^{12} r^{66}\right),$ so $a^{12} r^{66} = 8^{2006} = 2^{6018},$ which gives $a^2 r^{11} = 2^{1003}.$

Thus $a$ and $r$ are powers of $2:$ write $a = 2^x$ and $r = 2^y$ with integers $x, y \ge 0$ and $2x + 11y = 1003.$ Since $2x$ is even and $1003$ is odd, $y$ must be odd, say $y = 2k - 1$ for $k \ge 1.$ Then $x = 507 - 11k \ge 0$ exactly when $k \le \lfloor 507/11 \rfloor = 46.$

Each $k = 1, 2, \ldots, 46$ gives one pair, so there are $46$ ordered pairs $(a, r).$

2006 AIME I 第 9 题

答案：46

难度评级：2450

解答：

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