Question

求所有满足 $\cos^3 3x + \cos^3 5x$ $= 8 \cos^3 4x \cos^3 x$ 的 $x$ 的值之和，其中 $x$ 以度为单位，且 $100 \lt x \lt 200$ 。

Find the sum of the values of $x$ such that $\cos^3 3x + \cos^3 5x$ $= 8 \cos^3 4x \cos^3 x,$ where $x$ is measured in degrees and $100 \lt x \lt 200.$

答案

答案：906

知识点：三角恒等式立方和与立方差分类讨论

难度评级：2990

解答：

由积化和差恒等式， $2 \cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x$ ，所以右边为 $(\cos 5x + \cos 3x)^3$ 。令 $y = \cos 3x$ ， $z = \cos 5x$ ，方程变为 $y^3 + z^3 = (y + z)^3$ ，而 $(y+z)^3 - y^3 - z^3 = 3yz(y + z)$ ，所以它成立当且仅当 $\begin{aligned} \cos 3x &= 0, \\ \cos 5x &= 0, \end{aligned}$ 或 $\cos 4x \cos x = 0.$

对 $100 \lt x \lt 200$ （单位为度）： $\cos 3x = 0$ 给出 $x = 150$ ； $\cos 5x = 0$ 给出 $x = 126$ ， $162$ ， $198$ ； $\cos 4x = 0$ 给出 $x = 112.5$ ， $157.5$ ；而 $\cos x = 0$ 在该区间内无解。

和为 $\begin{aligned} &150 + 126 + 162 \\ &\quad {}+ 198 + 112.5 + 157.5 \\ &= 906. \end{aligned}$

By the product-to-sum identity, $2 \cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x,$ so the right side is $(\cos 5x + \cos 3x)^3.$ Setting $y = \cos 3x$ and $z = \cos 5x,$ the equation becomes $y^3 + z^3 = (y + z)^3,$ and since $(y+z)^3 - y^3 - z^3 = 3yz(y + z),$ it holds exactly when $\begin{aligned} \cos 3x &= 0, \\ \cos 5x &= 0, \end{aligned}$ or $\cos 4x \cos x = 0.$

For $100 \lt x \lt 200$ in degrees: $\cos 3x = 0$ gives $x = 150;$ $\cos 5x = 0$ gives $x = 126,$ $162,$ $198;$ $\cos 4x = 0$ gives $x = 112.5,$ $157.5;$ and $\cos x = 0$ gives no solutions in the interval.

The sum is $\begin{aligned} &150 + 126 + 162 \\ &\quad {}+ 198 + 112.5 + 157.5 \\ &= 906. \end{aligned}$

2006 AIME I 第 12 题

答案：906

难度评级：2990

解答：

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