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2003 AIME I 第 10 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

10.

三角形 ABCABC 是等腰三角形，AC=BCAC = BC，且 ∠ACB=106∘\angle ACB = 106^\circ。点 MM 在三角形内部，满足 ∠MAC=7∘\angle MAC = 7^\circ 且 ∠MCA=23∘\angle MCA = 23^\circ。求 ∠CMB\angle CMB 的度数。
Triangle ABCABC is isosceles with AC=BCAC = BC and ∠ACB=106∘.\angle ACB = 106^\circ. Point MM is in the interior of the triangle so that ∠MAC=7∘\angle MAC = 7^\circ and ∠MCA=23∘.\angle MCA = 23^\circ. Find the number of degrees in ∠CMB.\angle CMB.
答案：83
知识点：正弦定理余弦定理等腰三角形
难度评级：2920
小提示：
底角为 37∘37^\circ。在三角形 AMCAMC 中，取 AC=1AC = 1，由正弦定理可得 CM=2sin⁡7∘CM = 2\sin 7^\circ。
The base angles are 37∘.37^\circ. In triangle AMC,AMC, the Law of Sines with AC=1AC = 1 gives CM=2sin⁡7∘.CM = 2\sin 7^\circ.
大提示：
在三角形 BMCBMC 中使用余弦定理，并利用 ∠MCB\angle MCB 的余弦等于 sin⁡7∘\sin 7^\circ 可证明 MB=CBMB = CB。
Apply the Law of Cosines in triangle BMC,BMC, using the fact that the cosine of ∠MCB\angle MCB equals sin⁡7∘,\sin 7^\circ, to show MB=CBMB = CB
解答：
设 AC=BC=1AC = BC = 1。在三角形 AMCAMC 中，AA 与 CC 处的角分别为 7∘7^\circ 和 23∘23^\circ，所以 ∠AMC=150∘\angle AMC = 150^\circ，由正弦定理得 CM=sin⁡7∘sin⁡150∘=2sin⁡7∘。CM = \frac{\sin 7^\circ}{\sin 150^\circ} = 2\sin 7^\circ\text{。}
又 ∠MCB=106∘−23∘=83∘\angle MCB = 106^\circ - 23^\circ = 83^\circ，其余弦为 sin⁡7∘\sin 7^\circ。在三角形 BMCBMC 中用余弦定理：MB2=CM2+CB2−2⋅CM⋅CBcos⁡83∘=4sin⁡27∘+1−4sin⁡27∘=1。 \begin{aligned} MB^2 &= CM^2 + CB^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot CM \cdot CB \cos 83^\circ \\ &= 4\sin^2 7^\circ + 1 \\ &\quad {}- 4\sin^2 7^\circ = 1 \end{aligned}\text{。}
因此 MB=1=CBMB = 1 = CB，三角形 BMCBMC 为等腰三角形，∠CMB=∠MCB=83∘\angle CMB = \angle MCB = 83^\circ。答案是 8383。
Assume AC=BC=1.AC = BC = 1. In triangle AMC,AMC, the angles at AA and CC are 7∘7^\circ and 23∘,23^\circ, so ∠AMC=150∘,\angle AMC = 150^\circ, and the Law of Sines gives CM=sin⁡7∘sin⁡150∘=2sin⁡7∘.CM = \frac{\sin 7^\circ}{\sin 150^\circ} = 2\sin 7^\circ.
Also ∠MCB=106∘−23∘=83∘,\angle MCB = 106^\circ - 23^\circ = 83^\circ, whose cosine is sin⁡7∘.\sin 7^\circ. The Law of Cosines in triangle BMCBMC then gives MB2=CM2+CB2−2⋅CM⋅CBcos⁡83∘=4sin⁡27∘+1−4sin⁡27∘=1. \begin{aligned} MB^2 &= CM^2 + CB^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot CM \cdot CB \cos 83^\circ \\ &= 4\sin^2 7^\circ + 1 \\ &\quad {}- 4\sin^2 7^\circ = 1. \end{aligned}
So MB=1=CB,MB = 1 = CB, making triangle BMCBMC isosceles with ∠CMB=∠MCB=83∘.\angle CMB = \angle MCB = 83^\circ. The answer is 83.83.

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