Question

一个球内切于顶点为 $A = (6, 0, 0)$ 、 $B = (0, 4, 0)$ 、 $C = (0, 0, 2)$ 和 $D = (0, 0, 0)$ 的四面体。该球的半径为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

A sphere is inscribed in the tetrahedron whose vertices are $A = (6, 0, 0),$ $B = (0, 4, 0),$ $C = (0, 0, 2),$ and $D = (0, 0, 0).$ The radius of the sphere is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：5

知识点：立体几何内切圆、内心与内切圆半径体积向量

难度评级：2560

解答：

连接内心到四个顶点，会把四面体分成四个以各面为底、高为 $r$ 的棱锥，所以 $V = \frac{1}{3} r S$ ，即 $r = \frac{3V}{S}$ ，其中 $S$ 是总表面积。

这里 $V = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 8$ 。三个在坐标平面上的面是直角三角形，面积分别为 $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ 、 $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ 、 $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$ 。对面 $ABC$ ，叉积 $\overrightarrow{AB} = (-6, 4, 0)$ 与 $\overrightarrow{AC} = (-6, 0, 2)$ 为 $(8, 12, 24)$ 长度为 $4\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = 28$ ，所以该面的面积为 $14$ 。

因此 $S = 12 + 6 + 4 + 14 = 36$ ，且 $r = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$ ，所以 $m + n = 2 + 3 = 5$ 。

Connecting the incenter to the four vertices splits the tetrahedron into four pyramids of height $r$ over the faces, so $V = \frac{1}{3} r S,$ i.e. $r = \frac{3V}{S},$ where $S$ is the total surface area.

Here $V = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 8.$ The three faces on the coordinate planes are right triangles with areas $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12,$ $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6,$ and $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4.$ For face $ABC,$ the cross product of $\overrightarrow{AB} = (-6, 4, 0)$ and $\overrightarrow{AC} = (-6, 0, 2)$ is $(8, 12, 24),$ with length $4\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = 28,$ so that face has area $14.$

Then $S = 12 + 6 + 4 + 14 = 36$ and $r = \frac{24}{36} = \frac{2}{3},$ giving $m + n = 2 + 3 = 5.$

2001 AIME I 第 12 题

答案：5

难度评级：2560

解答：

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