Question

令 $\mathcal{S}$ 为所有坐标 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 均为整数，且满足 $0 \le x \le 2$ 、 $0 \le y \le 3$ 、 $0 \le z \le 4$ 的点的集合。从 $\mathcal{S}$ 中随机选取两个不同的点。它们确定的线段中点也属于 $\mathcal{S}$ 的概率为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

Let $\mathcal{S}$ be the set of points whose coordinates $x,$ $y,$ and $z$ are integers that satisfy $0 \le x \le 2,$ $0 \le y \le 3,$ and $0 \le z \le 4.$ Two distinct points are randomly chosen from $\mathcal{S}.$ The probability that the midpoint of the segment they determine also belongs to $\mathcal{S}$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：200

知识点：奇偶性基本概率数对计数格点

难度评级：2500

解答：

中点是格点，当且仅当所选两点在每个坐标上的奇偶性相同。先允许两点相同，按坐标计算有序点对。对 $x \in \{0, 1, 2\}$ ，有 $2$ 个偶数值和 $1$ 个奇数值，因此同奇偶有序对数为 $2^2 + 1^2 = 5$ 。对 $y \in \{0, \ldots, 3\}$ ，得到 $2^2 + 2^2 = 8$ 。对 $z \in \{0, \ldots, 4\}$ ，得到 $3^2 + 2^2 = 13$ 。

因此共有 $5 \cdot 8 \cdot 13 = 520$ 个有序点对，其中包括 $60$ 个两点相同的点对，所以有 $520 - 60 = 460$ 个不同点的有序点对，即 $230$ 个无序点对。全部无序点对数为 $\binom{60}{2} = 1770$ 。

概率为 $\frac{230}{1770} = \frac{23}{177}$ 。由于 $177 = 3 \cdot 59$ ，该分数已最简。因此 $m + n = 23 + 177 = 200$ 。

The midpoint is a lattice point exactly when the two chosen points agree in parity in each coordinate. Count ordered pairs (allowing equality) coordinate by coordinate. For $x \in \{0, 1, 2\}$ there are $2$ even and $1$ odd values, giving $2^2 + 1^2 = 5$ same-parity ordered pairs. For $y \in \{0, \ldots, 3\}:$ $2^2 + 2^2 = 8.$ For $z \in \{0, \ldots, 4\}:$ $3^2 + 2^2 = 13.$

That gives $5 \cdot 8 \cdot 13 = 520$ ordered pairs, including the $60$ pairs where the two points are equal, so $520 - 60 = 460$ ordered pairs of distinct points, or $230$ unordered pairs. The total number of unordered pairs is $\binom{60}{2} = 1770.$

The probability is $\frac{230}{1770} = \frac{23}{177},$ and since $177 = 3 \cdot 59,$ this is in lowest terms. Thus $m + n = 23 + 177 = 200.$

2001 AIME I 第 10 题

答案：200

难度评级：2500

解答：

其他年份的第 10 题