Question

将整数 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\ldots$ 、 $10$ 的每个排列记为 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ 、 $a_{10}$ ，并构造和 $\begin{gathered}|a_1-a_2|+|a_3-a_4|\\+|a_5-a_6|+|a_7-a_8|\\+|a_9-a_{10}|\end{gathered}\text{。}$ 所有这些和的平均值可写成 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p+q$ 。

For each permutation $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots,$ $a_{10}$ of the integers $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $10,$ form the sum $\begin{gathered}|a_1-a_2|+|a_3-a_4|\\+|a_5-a_6|+|a_7-a_8|\\+|a_9-a_{10}|.\end{gathered}$ The average value of all such sums can be written in the form $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p+q.$

答案

答案：58

知识点：期望值 linearity of expectation 数对计数

难度评级：1850

小提示：

五个绝对值差具有相同的平均值

Each of the five absolute differences has the same average

大提示：

对随机选取的无序数对，差为 $d$ 的数对有 $10-d$ 个

For a random unordered pair, difference $d$ occurs $10-d$ times

解答：

每一对的差都与从 $1,\ldots,10$ 中均匀选取一个无序数对所得差具有相同的期望。因此 $\begin{aligned}\mathbb E|a_1-a_2|&=\frac{\sum_{d=1}^9d(10-d)}{\binom{10}{2}}\\&=\frac{10\sum_{d=1}^9d}{45}\\&\quad-\frac{\sum_{d=1}^9d^2}{45}\\&=\frac{450-285}{45}=\frac{11}{3}\end{aligned}\text{。}$ 由期望的线性性质，五项和的平均值为 $\frac{5\cdot11}{3}=\frac{55}{3}$ 。所以 $p+q=58$ 。

Each paired difference has the same expected value as the difference of a uniformly selected unordered pair from $1,\ldots,10.$ Therefore $\begin{aligned}\mathbb E|a_1-a_2|&=\frac{\sum_{d=1}^9d(10-d)}{\binom{10}{2}}\\&=\frac{10\sum_{d=1}^9d}{45}\\&\quad-\frac{\sum_{d=1}^9d^2}{45}\\&=\frac{450-285}{45}=\frac{11}{3}.\end{aligned}$ By linearity of expectation, the average of the five-term sum is $\frac{5\cdot11}{3}=\frac{55}{3}.$ Thus $p+q=58.$

1996 AIME 第 12 题

答案：58

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题