Question

三角形 $ABC$ 是等腰三角形，满足 $AB=AC$ ，且高 $AM=11$ 。设一点 $D$ 位于 $\overline{AM}$ 上，满足 $AD=10$ 和 $\angle BDC=3\angle BAC$ 。那么， $\triangle ABC$ 的周长可写成 $a+\sqrt b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是整数。求 $a+b$ 。

Triangle $ABC$ is isosceles, with $AB=AC$ and altitude $AM=11.$ Suppose that there is a point $D$ on $\overline{AM}$ with $AD=10$ and $\angle BDC=3\angle BAC.$ Then the perimeter of $\triangle ABC$ may be written in the form $a+\sqrt b,$ where $a$ and $b$ are integers. Find $a+b.$

答案

答案：616

知识点：三角恒等式等腰三角形三角学

难度评级：2170

小提示：

令 $BM=x$ ，并令顶角的一半为 $\alpha$

Let $BM=x$ and let half the apex angle be $\alpha$

大提示：

使用 $\tan\alpha=\frac{x}{11}$ 、 $DM=1$ 和正切的三倍角公式

Use $\tan\alpha=\frac{x}{11},$ $DM=1,$ and the triple-angle formula for tangent

解答：

令 $BM=x$ ，并令 $\alpha=\angle BAM$ ，则 $\tan\alpha=\frac{x}{11}$ 。由于 $DM=AM-AD=1$ ，由对称性得 $\angle BDC=2\arctan x$ ，而 $\angle BAC=2\alpha$ 。因此 $\arctan x=3\alpha$ 。令 $t=\tan\alpha=\frac{x}{11}$ 。于是 $\frac{3t-t^3}{1-3t^2}=11t\text{，}$ 所以 $t^2=\frac{1}{4}$ ，且 $x=\frac{11}{2}$ 。因此 $BC=11$ ，且 $AB=\frac{11\sqrt5}{2}$ ，周长为 $11+11\sqrt5=11+\sqrt{605}\text{。}$ 所以 $a+b=11+605=616$ 。

Let $BM=x$ and $\alpha=\angle BAM,$ so $\tan\alpha=\frac{x}{11}.$ Because $DM=AM-AD=1,$ symmetry gives $\angle BDC=2\arctan x,$ while $\angle BAC=2\alpha.$ Hence $\arctan x=3\alpha.$ Put $t=\tan\alpha=\frac{x}{11}.$ Then $\frac{3t-t^3}{1-3t^2}=11t,$ so $t^2=\frac{1}{4}$ and $x=\frac{11}{2}.$ Thus $BC=11$ and $AB=\frac{11\sqrt5}{2},$ making the perimeter $11+11\sqrt5=11+\sqrt{605}.$ Therefore $a+b=11+605=616.$

1995 AIME 第 9 题

答案：616

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题