Question

已知 $\sec x+\tan x=\frac{22}{7}$ ，且 $\csc x+\cot x=\frac{m}{n}$ ，其中 $\frac{m}{n}$ 为最简分数。求 $m+n$ 。

Suppose that $\sec x+\tan x=\frac{22}{7}$ and that $\csc x+\cot x=\frac{m}{n},$ where $\frac{m}{n}$ is in lowest terms. Find $m+n.$

答案

答案：44

知识点：三角恒等式代数变形分数

难度评级：2020

小提示：

若 $u=\sec x+\tan x$ ，则 $\sec x-\tan x=\frac{1}{u}$ 。

If $u=\sec x+\tan x$ , then $\sec x-\tan x=\frac{1}{u}$

大提示：

将 $\csc x+\cot x$ 改写为 $\frac{\sec x+1}{\tan x}$ 。

Rewrite $\csc x+\cot x$ as $\frac{\sec x+1}{\tan x}$

解答：

令 $u=\sec x+\tan x=\frac{22}{7}$ 。由于 $\sec x+\tan x$ 与 $\sec x-\tan x$ 的乘积为 $1$ ， $\begin{aligned}\sec x&=\frac{u+u^{-1}}2,\\\tan x&=\frac{u-u^{-1}}2\end{aligned}\text{。}$ 此外， $\begin{aligned}\csc x+\cot x&=\frac{1+\cos x}{\sin x}\\&=\frac{\sec x+1}{\tan x}\\&=\frac{u+1}{u-1}\end{aligned}\text{。}$ 代入 $u=\frac{22}{7}$ ，得到 $\frac{29}{15}$ 。因此 $m+n=29+15=44$ 。

Let $u=\sec x+\tan x=\frac{22}{7}.$ Since $\sec x+\tan x$ and $\sec x-\tan x$ have product $1,$ $\begin{aligned}\sec x&=\frac{u+u^{-1}}2,\\\tan x&=\frac{u-u^{-1}}2.\end{aligned}$ Also $\begin{aligned}\csc x+\cot x&=\frac{1+\cos x}{\sin x}\\&=\frac{\sec x+1}{\tan x}\\&=\frac{u+1}{u-1}.\end{aligned}$ Substituting $u=\frac{22}{7}$ gives $\frac{29}{15}.$ Thus $m+n=29+15=44.$

1991 AIME 第 9 题

答案：44

难度评级：2020

小提示：

大提示：

解答：

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