Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

1966 AMC 12 Problema 35

Intenta el Problema 35 del 1966 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1966 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

35.

Sea OO un punto interior del triángulo ABC,ABC, y sea s1=OA+OB+OC.s_1=OA+OB+OC. Si s2=AB+BC+CA,s_2=AB+BC+CA, entonces:
Let OO be an interior point of triangle ABC,ABC, and let s1=OA+OB+OC.s_1=OA+OB+OC. If s2=AB+BC+CA,s_2=AB+BC+CA, then:
para todo triángulo, s1>12s2,s_1\gt\dfrac12s_2, y s1≤s2s_1\leq s_2
for every triangle s1>12s2,s_1\gt\dfrac12s_2, and s1≤s2s_1\leq s_2
para todo triángulo, s1≥12s2,s_1\geq\dfrac12s_2, y s1<s2s_1\lt s_2
for every triangle s1≥12s2,s_1\geq\dfrac12s_2, and s1<s2s_1\lt s_2
para todo triángulo, s1>12s2,s_1\gt\dfrac12s_2, y s1<s2s_1\lt s_2
for every triangle s1>12s2,s_1\gt\dfrac12s_2, and s1<s2s_1\lt s_2
para todo triángulo, s1≥12s2,s_1\geq\dfrac12s_2, y s1≤s2s_1\leq s_2
for every triangle s1≥12s2,s_1\geq\dfrac12s_2, and s1≤s2s_1\leq s_2
ni (A)(A), ni (B)(B), ni (C)(C), ni (D)(D) se aplica a todo triángulo
neither (A)(A) nor (B)(B) nor (C)(C) nor (D)(D) applies to every triangle
Respuesta: C
Conceptos:acotación a casos límitedesigualdad triangular
Nivel de dificultad: 1880
Pista pequeña:
Suma AB<OA+OB,AB\lt OA+OB, BC<OB+OC,BC\lt OB+OC, y CA<OC+OACA\lt OC+OA
Add AB<OA+OB,AB\lt OA+OB, BC<OB+OC,BC\lt OB+OC, and CA<OC+OACA\lt OC+OA
Pista grande:
Prolonga AOAO hasta el lado BCBC para demostrar OA+OB<AC+CB,OA+OB\lt AC+CB, y repite cíclicamente
Extend AOAO to side BCBC to prove OA+OB<AC+CB,OA+OB\lt AC+CB, and cycle
Solución:
Al sumar las tres desigualdades triangulares estrictas AB<OA+OB,BC<OB+OC,CA<OC+OA \begin{gathered} AB\lt OA+OB,\\ BC\lt OB+OC,\\ CA\lt OC+OA \end{gathered} se obtiene s2<2s1.s_2\lt2s_1.
Para la cota superior, prolonga AOAO hasta DD en BC.BC. Entonces AO+OD<AC+CDAO+OD\lt AC+CD y OB<OD+DB,OB\lt OD+DB, por lo que al cancelar se obtiene OA+OB<AC+CB.OA+OB\lt AC+CB. Al repetir cíclicamente y sumar se obtiene 2s1<2s2.2s_1\lt2s_2. Por lo tanto, s1>s22s_1\gt \frac{s_2}{2} y s1<s2.s_1\lt s_2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Adding the three strict triangle inequalities AB<OA+OB,BC<OB+OC,CA<OC+OA \begin{gathered} AB\lt OA+OB,\\ BC\lt OB+OC,\\ CA\lt OC+OA \end{gathered} gives s2<2s1.s_2\lt2s_1.
For the upper bound, extend AOAO to DD on BC.BC. Then AO+OD<AC+CDAO+OD\lt AC+CD and OB<OD+DB,OB\lt OD+DB, so cancellation gives OA+OB<AC+CB.OA+OB\lt AC+CB. Cycling and adding yields 2s1<2s2.2s_1\lt2s_2. Therefore s1>s22s_1\gt \frac{s_2}{2} and s1<s2.s_1\lt s_2.
Thus, the correct answer is C.
Problema 34#34
Examen completo
Problema 36#36

El Problema 35 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12