Question

Se forma un triángulo uniendo tres puntos de coordenadas enteras. Si las unidades de

x

y

y

miden

1

pulgada, su área en pulgadas cuadradas:

A triangle is formed by joining three points whose coordinates are integers. If the

x

-unit and the

y

-unit are each

1

inch, then the area of the triangle, in square inches:

debe ser entera

must be an integer

puede ser irracional

may be irrational

debe ser irracional

must be irrational

debe ser racional

must be rational

será entera solo si el triángulo es equilátero

will be an integer only if the triangle is equilateral

Traslada un vértice al origen y usa el determinante de coordenadas para el doble del área

Translate one vertex to the origin and use the coordinate determinant for twice the area

El determinante de coordenadas enteras es entero

The determinant of integer coordinates is an integer

Tras trasladar un vértice al origen, sean los otros dos

(a,c)

y

(b,d),

con coordenadas enteras. El área es

\frac12|ad-bc|.

Como

ad-bc

es entero, el área es entera o semientera; en ambos casos es racional.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

After translating one vertex to the origin, write the other two as

(a,c)

and

(b,d),

with all coordinates integers. The area is

\frac12|ad-bc|.

Since

ad-bc

is an integer, the area is an integer or a half-integer, and in either case it is rational.

Therefore, the correct answer is D.