Question

若 $P$ 是等比数列中 $n$ 个量的乘积， $S$ 是它们的和， $S'$ 是它们倒数的和，则用 $S$ 、 $S'$ 和 $n$ 表示的 $P$ 为：

If $P$ is the product of $n$ quantities in geometric progression, $S$ their sum, and $S'$ the sum of their reciprocals, then $P$ in terms of $S,$ $S',$ and $n$ is:

$(SS')^{\frac{n}{2}}$

$(\frac{S}{S'})^{\frac{n}{2}}$

$(SS')^{n-2}$

$(\frac{S}{S'})^n$

$(\frac{S}{S'})^{\frac{n-1}{2}}$

答案：B

知识点：等比数列代数变形

难度评级：2300

小提示：

把这个等比数列写成 $a,ar,\ldots,ar^{n-1}$

Write the progression as $a,ar,\ldots,ar^{n-1}$

大提示：

证明 $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}$ ，其 $\frac{n}{2}$ 次幂正是所求乘积

Show that $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}$ , whose $\frac{n}{2}$ power is the product

解答：

把这些项写成 $a,ar,\ldots,ar^{n-1}$ 。将倒数之和反向排列可得 $S'=\frac{S}{a^2r^{n-1}}\text{，}$ 所以 $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}$ 。另一方面， $\begin{aligned} P&=a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ &=\left(a^2r^{n-1}\right)^{\frac{n}{2}}\\ &=\left(\frac{S}{S'}\right)^{\frac{n}{2}}\text{。} \end{aligned}$

因此，正确答案为 B。

Write the terms as $a,ar,\ldots,ar^{n-1}.$ Reversing the reciprocal sum gives $S'=\frac{S}{a^2r^{n-1}},$ so $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}.$ Meanwhile $\begin{aligned} P&=a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ &=\left(a^2r^{n-1}\right)^{\frac{n}{2}}\\ &=\left(\frac{S}{S'}\right)^{\frac{n}{2}}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

1971 AMC 12 第 33 题

答案：B

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 33 题