Question

一张纸做的等边三角形 $ABC$ 边长为 $12$ 。把这个纸三角形折叠，使顶点 $A$ 落到边 $\overline{BC}$ 上距离点 $B$ 为 $9$ 的一点。折痕线段的长度可写成 $\frac{m\sqrt{p}}{n}$ ，其中 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 为正整数， $m$ 与 $n$ 互质，且 $p$ 不被任何素数的平方整除。求 $m + n + p$ 。

A paper equilateral triangle $ABC$ has side length $12.$ The paper triangle is folded so that vertex $A$ touches a point on side $\overline{BC}$ a distance $9$ from point $B.$ The length of the line segment along which the triangle is folded can be written as $\frac{m\sqrt{p}}{n},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, $m$ and $n$ are relatively prime, and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

答案

答案：113

知识点：折纸余弦定理等边三角形

难度评级：2920

解答：

设 $A'$ 为落点，其中 $BA' = 9$ 、 $CA' = 3$ ，并设折痕与 $\overline{AB}$ 交于 $P$ ，与 $\overline{AC}$ 交于 $Q$ 。折叠保持距离，所以 $PA' = PA = x$ ， $QA' = QA = y$ 。在三角形 $PBA'$ 中， $PB = 12 - x$ ，且 $\angle B = 60^\circ$ ，由余弦定理得化简得 $15x = 117$ ，所以 $x = \frac{39}{5}$ 。类似地，在三角形 $QCA'$ 中， $y^2 = (12 - y)^2 + 9 - 3(12 - y)$ ，得 $21y = 117$ ，所以 $y = \frac{39}{7}$ 。 $\begin{aligned} x^2 &= (12 - x)^2 + 81 \\ &\quad {}- 9(12 - x), \end{aligned}$

最后，在三角形 $APQ$ 中有 $\angle A = 60^\circ$ ，因此所以 $PQ = \frac{39\sqrt{39}}{35}$ 。因此 $m + n + p = 39 + 35 + 39$ $= 113$ 。 $\begin{aligned} PQ^2 &= x^2 + y^2 - xy \\ &= 39^2\left(\frac{1}{25} + \frac{1}{49} - \frac{1}{35}\right) \\ &= 39^2 \cdot \frac{49 + 25 - 35}{1225} \\ &= \frac{39^3}{1225}, \end{aligned}$

Let $A'$ be the landing point, with $BA' = 9$ and $CA' = 3,$ and let the crease meet $\overline{AB}$ at $P$ and $\overline{AC}$ at $Q.$ Folding preserves distances, so $PA' = PA = x$ and $QA' = QA = y.$ In triangle $PBA',$ with $PB = 12 - x$ and $\angle B = 60^\circ,$ the law of cosines gives $\begin{aligned} x^2 &= (12 - x)^2 + 81 \\ &\quad {}- 9(12 - x), \end{aligned}$ which simplifies to $15x = 117,$ so $x = \frac{39}{5}.$ Similarly, in triangle $QCA',$ $y^2 = (12 - y)^2 + 9 - 3(12 - y)$ gives $21y = 117,$ so $y = \frac{39}{7}.$

Finally, in triangle $APQ$ with $\angle A = 60^\circ,$ $\begin{aligned} PQ^2 &= x^2 + y^2 - xy \\ &= 39^2\left(\frac{1}{25} + \frac{1}{49} - \frac{1}{35}\right) \\ &= 39^2 \cdot \frac{49 + 25 - 35}{1225} \\ &= \frac{39^3}{1225}, \end{aligned}$ so $PQ = \frac{39\sqrt{39}}{35}.$ Thus $m + n + p = 39 + 35 + 39$ $= 113.$

2013 AIME I 第 9 题

答案：113

难度评级：2920

解答：

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