Question

设 $\triangle PQR$ 是一个三角形，其中 $\angle P = 75^\circ$ 、 $\angle Q = 60^\circ$ 。在 $\triangle PQR$ 内画一个边长为 $1$ 的正六边形 $ABCDEF$ ，使边 $\overline{AB}$ 在 $\overline{PQ}$ 上，边 $\overline{CD}$ 在 $\overline{QR}$ 上，并且其余顶点中有一个在 $\overline{RP}$ 上。存在正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ ，使 $\triangle PQR$ 的面积可表示为 $\frac{a + b\sqrt{c}}{d}$ ，其中 $a$ 与 $d$ 互质，且 $c$ 不被任何素数的平方整除。求 $a + b + c + d$ 。

Let $\triangle PQR$ be a triangle with $\angle P = 75^\circ$ and $\angle Q = 60^\circ.$ A regular hexagon $ABCDEF$ with side length $1$ is drawn inside $\triangle PQR$ so that side $\overline{AB}$ lies on $\overline{PQ},$ side $\overline{CD}$ lies on $\overline{QR},$ and one of the remaining vertices lies on $\overline{RP}.$ There are positive integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ such that the area of $\triangle PQR$ can be expressed in the form $\frac{a + b\sqrt{c}}{d},$ where $a$ and $d$ are relatively prime, and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c + d.$

答案

答案：21

知识点：正多边形坐标几何三角形面积

难度评级：2990

解答：

注意 $\angle R = 45^\circ$ 。由于正六边形的内角为 $120^\circ$ ，线段 $\overline{BC}$ 在 $Q$ 处截出的小三角形有两个 $60^\circ$ 的底角，所以三角形 $BQC$ 为等边三角形，且 $QB = QC = 1$ 。令 $Q$ 为原点， $QR$ 沿正 $x$ 轴。则 $C = (1, 0)$ 、 $D = (2, 0)$ ，六边形的顶点为 $B = \left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 、 $A = (1, \sqrt{3})$ 、 $F = (2, \sqrt{3})$ 、 $E = \left(\tfrac{5}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 。

因为 $\angle R = 45^\circ$ ，直线 $RP$ 的斜率为 $-1$ 。若它经过 $E$ ，则直线为 $x + y = \tfrac{5 + \sqrt{3}}{2}$ ，这会使 $F$ （其 $x + y = 2 + \sqrt{3}$ ）落在三角形外；所以在 $\overline{RP}$ 上的顶点是 $F$ ，且 $RP$ 是直线 $x + y = 2 + \sqrt{3}$ 。它与 $x$ 轴交于 $R = (2 + \sqrt{3},\ 0)$ ，并与直线 $y = \sqrt{3}\,x$ （即 $QP$ ）相交，此时 $x(1 + \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3}$ ，得到 $P$ 的高度 $y = \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}.$

面积为 $\frac{1}{2} \cdot QR \cdot y$ $= \frac{1}{2}(2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ $= \frac{9 + 5\sqrt{3}}{4}$ ，所以 $a + b + c + d = 9 + 5 + 3 + 4$ $= 21$ 。

Note $\angle R = 45^\circ.$ Because the hexagon's interior angles are $120^\circ,$ segments $\overline{BC}$ cut off a corner triangle at $Q$ with two $60^\circ$ base angles, so triangle $BQC$ is equilateral and $QB = QC = 1.$ Put $Q$ at the origin with $QR$ along the positive $x$ -axis. Then $C = (1, 0),$ $D = (2, 0),$ and the hexagon's vertices are $B = \left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right),$ $A = (1, \sqrt{3}),$ $F = (2, \sqrt{3}),$ $E = \left(\tfrac{5}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Since $\angle R = 45^\circ,$ line $RP$ has slope $-1.$ If it passed through $E,$ it would be $x + y = \tfrac{5 + \sqrt{3}}{2},$ which puts $F$ (with $x + y = 2 + \sqrt{3}$ ) outside the triangle; so the vertex on $\overline{RP}$ is $F,$ and $RP$ is the line $x + y = 2 + \sqrt{3}.$ It meets the $x$ -axis at $R = (2 + \sqrt{3},\ 0)$ and the line $y = \sqrt{3}\,x$ (line $QP$ ) where $x(1 + \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3},$ giving $P$ height $y = \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}.$

The area is $\frac{1}{2} \cdot QR \cdot y$ $= \frac{1}{2}(2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ $= \frac{9 + 5\sqrt{3}}{4},$ so $a + b + c + d = 9 + 5 + 3 + 4$ $= 21.$

2013 AIME I 第 12 题

答案：21

难度评级：2990

解答：

其他年份的第 12 题