Question

十个相同的木箱尺寸均为 $3$ ft $\times$ $4$ ft $\times$ $6$ ft。第一个木箱平放在地板上。其余九个木箱依次平放在前一个木箱上方，且每个木箱的朝向随机选择。设这堆木箱高度恰好为 $41$ ft 的概率为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 为互质正整数。求 $m$ 。

Ten identical crates each have dimensions $3$ ft $\times$ $4$ ft $\times$ $6$ ft. The first crate is placed flat on the floor. Each of the remaining nine crates is placed, in turn, flat on top of the previous crate, and the orientation of each crate is chosen at random. Let $\frac{m}{n}$ be the probability that the stack of crates is exactly $41$ ft tall, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m.$

答案

答案：190

知识点：基本概率丢番图方程多重集排列

难度评级：2650

解答：

每个木箱独立地贡献高度 $3$ 、 $4$ ，或 $6$ ，概率各为 $\frac{1}{3}$ ，所以共有 $3^{10}$ 个等可能堆法。若 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 个木箱的高度分别为 $3$ 、 $4$ 、 $6$ ，则 $x + y + z = 10$ 且 $3x + 4y + 6z = 41$ ；减去第一个方程的三倍，得 $y + 3z = 11$ ，所以 $\begin{aligned} (x, y, z) &= (1, 8, 1), \\ &\quad (3, 5, 2), \\ &\quad (5, 2, 3). \end{aligned}$

这些分别可排列为 $\frac{10!}{1!\,8!\,1!} = 90$ 、 $\frac{10!}{3!\,5!\,2!} = 2520$ ，和 $\frac{10!}{5!\,2!\,3!} = 2520$ 种，共 $5130$ 种堆法。概率为 $\frac{5130}{3^{10}} = \frac{190}{3^7}$ ，因为 $190 = 2 \cdot 5 \cdot 19$ 。这已是最简分数。因此 $m = 190$ 。

Each crate independently contributes height $3,$ $4,$ or $6,$ each with probability $\frac{1}{3},$ so there are $3^{10}$ equally likely stacks. If $x,$ $y,$ $z$ crates have heights $3,$ $4,$ $6,$ then $x + y + z = 10$ and $3x + 4y + 6z = 41;$ subtracting three times the first equation gives $y + 3z = 11,$ so $\begin{aligned} (x, y, z) &= (1, 8, 1), \\ &\quad (3, 5, 2), \\ &\quad (5, 2, 3). \end{aligned}$

These can be ordered in $\frac{10!}{1!\,8!\,1!} = 90,$ $\frac{10!}{3!\,5!\,2!} = 2520,$ and $\frac{10!}{5!\,2!\,3!} = 2520$ ways, for $5130$ stacks in all. The probability is $\frac{5130}{3^{10}} = \frac{190}{3^7},$ which is in lowest terms since $190 = 2 \cdot 5 \cdot 19.$ Thus $m = 190.$

2008 AIME I 第 9 题

答案：190

难度评级：2650

解答：

其他年份的第 9 题