Question

已知长方形 $ABCD$ 中 $AB = 63$ 且 $BC = 448$ 。点 $E$ 和 $F$ 分别在 $\overline{AD}$ 和 $\overline{BC}$ 上，满足 $AE = CF = 84$ 。三角形 $BEF$ 的内切圆在点 $P$ 与 $\overline{EF}$ 相切，三角形 $DEF$ 的内切圆在点 $Q$ 与 $\overline{EF}$ 相切。求 $PQ$ 。

Rectangle $ABCD$ is given with $AB = 63$ and $BC = 448.$ Points $E$ and $F$ lie on $\overline{AD}$ and $\overline{BC}$ respectively, such that $AE = CF = 84.$ The inscribed circle of triangle $BEF$ is tangent to $\overline{EF}$ at point $P,$ and the inscribed circle of triangle $DEF$ is tangent to $\overline{EF}$ at point $Q.$ Find $PQ.$

答案

答案：259

知识点：内切圆、内心与内切圆半径勾股定理

难度评级：2650

解答：

设 $A = (0, 0)$ ， $B = (63, 0)$ ， $C = (63, 448)$ ， $D = (0, 448)$ ，则 $E = (0, 84)$ 且 $F = (63, 364)$ 。于是 $BE = DF = \sqrt{63^2 + 84^2}$ $= 21\sqrt{3^2 + 4^2} = 105$ ， $BF = DE = 448 - 84 = 364$ ，且 $EF = \sqrt{63^2 + 280^2}$ $= 7\sqrt{9^2 + 40^2} = 287$ 。特别地，三角形 $BEF$ 与 $DFE$ 全等，共同半周长为 $s = \frac{105 + 364 + 287}{2} = 378$ 。

在任意三角形中，从一个顶点到内切圆在其两边上的切点的距离等于半周长减去对边长。在三角形 $BEF$ 中， $EP = s - BF$ $= 378 - 364 = 14$ ；在三角形 $DEF$ 中， $FQ = s - DE$ $= 378 - 364 = 14$ 。

因此 $PQ = EF - EP - FQ$ $= 287 - 14 - 14 = 259$ 。

Place $A = (0, 0),$ $B = (63, 0),$ $C = (63, 448),$ $D = (0, 448),$ so $E = (0, 84)$ and $F = (63, 364).$ Then $BE = DF = \sqrt{63^2 + 84^2}$ $= 21\sqrt{3^2 + 4^2} = 105,$ $BF = DE = 448 - 84 = 364,$ and $EF = \sqrt{63^2 + 280^2}$ $= 7\sqrt{9^2 + 40^2} = 287.$ In particular triangles $BEF$ and $DFE$ are congruent, with common semiperimeter $s = \frac{105 + 364 + 287}{2} = 378.$

In any triangle, the distance from a vertex to the incircle's tangency points on its two sides is the semiperimeter minus the opposite side. In triangle $BEF,$ $EP = s - BF$ $= 378 - 364 = 14;$ in triangle $DEF,$ $FQ = s - DE$ $= 378 - 364 = 14.$

Therefore $PQ = EF - EP - FQ$ $= 287 - 14 - 14 = 259.$

2007 AIME II 第 9 题

答案：259

难度评级：2650

解答：

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