2003 AIME I 第 12 题

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12.

在凸四边形

ABCD

中，

\angle A \cong \angle C

，

AB = CD = 180

，且

AD \ne BC

。四边形

ABCD

的周长为

640

。求

\lfloor 1000 \cos A \rfloor

。（记号

\lfloor x \rfloor

表示小于或等于

x

的最大整数。）

In convex quadrilateral

ABCD,

\angle A \cong \angle C,

AB = CD = 180,

and

AD \ne BC.

The perimeter of

ABCD

is

640.

Find

\lfloor 1000 \cos A \rfloor.

(The notation

\lfloor x \rfloor

means the greatest integer that is less than or equal to

x.

)

答案

答案：777

知识点：余弦定理平方差

难度评级：2560

小提示：

用余弦定理计算

BD^2

：分别在三角形

ABD

和

CDB

中计算，并令结果相等。

Compute

BD^2

by the Law of Cosines in triangles

ABD

and

CDB,

and set the results equal

大提示：

因为

AD \ne BC

，除以

AD - BC

后得到

\cos A = \frac{AD + BC}{360}

，且

AD + BC = 640 - 360

。

Because

AD \ne BC,

dividing by

AD - BC

leaves

\cos A = \frac{AD + BC}{360},

and

AD + BC = 640 - 360

解答：

设

\angle A = \angle C = \alpha

，

AD = x

，

BC = y

。对角线

BD

在三角形

ABD

和

CDB

中分别用余弦定理：

\begin{aligned} BD^2 &= x^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180x\cos\alpha \\ &= y^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180y\cos\alpha \end{aligned}\text{。}

整理得

x^2 - y^2 = 2 \cdot 180(x - y)\cos\alpha

，因为

x \ne y

可除以

x - y

：

\begin{aligned} \cos\alpha &= \frac{x + y}{360} \\ &= \frac{640 - 2 \cdot 180}{360} \\ &= \frac{280}{360} = \frac{7}{9} \end{aligned}\text{。}

于是

1000\cos A = \frac{7000}{9} = 777.7\ldots

，所以

\lfloor 1000\cos A \rfloor = 777

。

Let

\angle A = \angle C = \alpha,

AD = x,

and

BC = y.

Applying the Law of Cosines to diagonal

BD

in triangles

ABD

and

CDB,

\begin{aligned} BD^2 &= x^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180x\cos\alpha \\ &= y^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180y\cos\alpha. \end{aligned}

Rearranging gives

x^2 - y^2 = 2 \cdot 180(x - y)\cos\alpha,

and since

x \ne y

we may divide by

x - y:

\begin{aligned} \cos\alpha &= \frac{x + y}{360} \\ &= \frac{640 - 2 \cdot 180}{360} \\ &= \frac{280}{360} = \frac{7}{9}. \end{aligned}

Then

1000\cos A = \frac{7000}{9} = 777.7\ldots,

so

\lfloor 1000\cos A \rfloor = 777.