Question

给定一个非负实数 $x$ ，令 $\langle x\rangle$ 表示 $x$ 的小数部分；也就是说， $\langle x\rangle = x - \lfloor x\rfloor$ ，其中 $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。设 $a$ 为正数， $\langle a^{-1}\rangle = \langle a^2\rangle$ ，且 $2 \lt a^2 \lt 3$ 。求 $a^{12} - 144a^{-1}$ 的值。

Given a nonnegative real number $x,$ let $\langle x\rangle$ denote the fractional part of $x;$ that is, $\langle x\rangle = x - \lfloor x\rfloor,$ where $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x.$ Suppose that $a$ is positive, $\langle a^{-1}\rangle = \langle a^2\rangle,$ and $2 \lt a^2 \lt 3.$ Find the value of $a^{12} - 144a^{-1}.$

答案

答案：233

知识点：取整函数因式分解代数变形

难度评级：2560

解答：

由 $2 \lt a^2 \lt 3$ 得 $\sqrt{2} \lt a \lt \sqrt{3}$ ，所以 $0 \lt a^{-1} \lt 1$ ，从而 $\langle a^{-1}\rangle = a^{-1}$ ，同时 $\langle a^2\rangle = a^2 - 2$ 。条件变为 $a^{-1} = a^2 - 2$ ，即 $a^3 - 2a - 1 = 0$ ，它可分解为因为 $a \gt 0$ ，所以 $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ，也就是黄金比例；确实有 $a^2 = a + 1 \approx 2.618$ ，位于 $(2, 3)$ 内。 $(a + 1)(a^2 - a - 1) = 0.$

反复使用 $a^2 = a + 1$ ： $a^4 = (a+1)^2 = 3a + 2$ ， $a^8 = (3a+2)^2$ $= 9(a+1) + 12a + 4$ $= 21a + 13$ ，且 $a^{12} = a^8 a^4$ $= (21a + 13)(3a + 2)$ $= 63(a+1) + 81a + 26$ $= 144a + 89$ 。又由 $a^2 = a + 1$ 得 $a^{-1} = a - 1$ 。

因此 $a^{12} - 144a^{-1}$ $= 144a + 89 - 144(a - 1)$ $= 89 + 144 = 233$ 。

From $2 \lt a^2 \lt 3$ we get $\sqrt{2} \lt a \lt \sqrt{3},$ so $0 \lt a^{-1} \lt 1$ and $\langle a^{-1}\rangle = a^{-1},$ while $\langle a^2\rangle = a^2 - 2.$ The condition becomes $a^{-1} = a^2 - 2,$ i.e. $a^3 - 2a - 1 = 0,$ which factors as $(a + 1)(a^2 - a - 1) = 0.$ Since $a \gt 0,$ we get $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2},$ the golden ratio, and indeed $a^2 = a + 1 \approx 2.618$ lies in $(2, 3).$

Using $a^2 = a + 1$ repeatedly: $a^4 = (a+1)^2 = 3a + 2,$ $a^8 = (3a+2)^2$ $= 9(a+1) + 12a + 4$ $= 21a + 13,$ and $a^{12} = a^8 a^4$ $= (21a + 13)(3a + 2)$ $= 63(a+1) + 81a + 26$ $= 144a + 89.$ Also $a^{-1} = a - 1$ from $a^2 = a + 1.$

Therefore $a^{12} - 144a^{-1}$ $= 144a + 89 - 144(a - 1)$ $= 89 + 144 = 233.$

1997 AIME 第 9 题

答案：233

难度评级：2560

解答：

其他年份的第 9 题