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1965 AMC 12 Problema 33

Intenta el Problema 33 del 1965 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1965 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

33.

Si el número 15!,15!, es decir, 15⋅14⋅13⋯1,15\cdot14\cdot13\cdots1, termina en kk ceros cuando se expresa en base 1212 y en hh ceros cuando se expresa en base 10,10, entonces k+hk+h es igual a:
If the number 15!,15!, that is, 15⋅14⋅13⋯1,15\cdot14\cdot13\cdots1, ends with kk zeros when given to the base 1212 and ends with hh zeros when given to the base 10,10, then k+hk+h equals:
55
66
77
88
99
Respuesta: D
Conceptos:factorialceros finalesfactorización en primosbase numérica
Nivel de dificultad: 2000
Pista pequeña:
Cuenta las potencias de 2,2, 3,3, y 55 en 15!15!
Count the powers of 2,2, 3,3, and 55 in 15!15!
Pista grande:
Un cero en base 1212 usa 22⋅32^2\cdot3, mientras que un cero en base 1010 usa 2⋅52\cdot5
A base-1212 zero uses 22⋅32^2\cdot3, while a base-1010 zero uses 2⋅52\cdot5
Solución:
Las valuaciones primas son v2(15!)=11,v3(15!)=6,v5(15!)=3. \begin{gathered} v_2(15!)=11,\\ v_3(15!)=6,\\ v_5(15!)=3. \end{gathered} Por tanto, k=min⁡(⌊112⌋,6)=5k=\min(\lfloor\frac{11}{2}\rfloor,6)=5 en base 12,12, y h=min⁡(11,3)=3h=\min(11,3)=3 en base 10.10. Así, k+h=8.k+h=8.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The prime valuations are v2(15!)=11,v3(15!)=6,v5(15!)=3. \begin{gathered} v_2(15!)=11,\\ v_3(15!)=6,\\ v_5(15!)=3. \end{gathered} Hence k=min⁡(⌊112⌋,6)=5k=\min(\lfloor\frac{11}{2}\rfloor,6)=5 in base 12,12, and h=min⁡(11,3)=3h=\min(11,3)=3 in base 10.10. Thus k+h=8.k+h=8.
Therefore, the correct answer is D.
Problema 32#32
Examen completo
Problema 34#34

El Problema 33 en otros años

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