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1959 AMC 12 Problema 34

Intenta el Problema 34 del 1959 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1959 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

34.

Denotemos las raíces de x2−3x+1=0x^2-3x+1=0 por rr y s.s. Entonces la expresión r2+s2r^2+s^2 es:
Let the roots of x2−3x+1=0x^2-3x+1=0 be rr and s.s. Then the expression r2+s2r^2+s^2 is:
un entero positivo
a positive integer
una fracción positiva mayor que 11
a positive fraction greater than 11
una fracción positiva menor que 11
a positive fraction less than 11
un número irracional
an irrational number
un número imaginario
an imaginary number
Respuesta: A
Conceptos:Fórmulas de Vietacuadráticamanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1110
Pista pequeña:
Usa r+s=3r+s=3 y rs=1rs=1
Use r+s=3r+s=3 and rs=1rs=1
Pista grande:
Reescribe r2+s2r^2+s^2 como (r+s)2−2rs(r+s)^2-2rs
Rewrite r2+s2r^2+s^2 as (r+s)2−2rs(r+s)^2-2rs
Solución:
Las fórmulas de Vieta dan r+s=3r+s=3 y rs=1.rs=1. Por lo tanto, r2+s2=(r+s)2−2rs=9−2=7, \begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=9-2=7, \end{aligned} que es un entero positivo.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Vieta’s formulas give r+s=3r+s=3 and rs=1.rs=1. Therefore r2+s2=(r+s)2−2rs=9−2=7, \begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=9-2=7, \end{aligned} which is a positive integer.
Thus, the correct answer is A.
Problema 33#33
Examen completo
Problema 35#35

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