Question

除 $13{,}511$ 、 $13{,}903$ 和 $14{,}589$ 后所得余数相同的最大整数是：

The greatest integer that will divide $13{,}511,$ $13{,}903,$ and $14{,}589$ and leave the same remainder is:

$28$

$49$

$98$

大于 $49$ 的 $7$ 的奇数倍

an odd multiple of $7$ greater than $49$

大于 $98$ 的 $7$ 的偶数倍

an even multiple of $7$ greater than $98$

答案：C

知识点：最大公约数整除性代数变形

难度评级：1650

小提示：

余数相同意味着除数能整除每两个数之差

A common remainder means the divisor divides every pairwise difference

大提示：

求 $13903-13511$ 与 $14589-13903$ 的最大公因数

Find the GCD of $13903-13511$ and $14589-13903$

解答：

一个除数除这三个数所得余数相同，当且仅当它能整除这些数之间的差。相邻两个差为 $\begin{gathered} 13903-13511=392,\\ 14589-13903=686 \end{gathered}\text{。}$ 因此最大的可能除数为 $\begin{gathered} \gcd(392,686)\\ =\gcd(392,294)\\ =\gcd(294,98)=98 \end{gathered}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

A divisor leaves the same remainder on all three numbers exactly when it divides their differences. The two successive differences are $\begin{gathered} 13903-13511=392,\\ 14589-13903=686. \end{gathered}$ Therefore the greatest possible divisor is $\begin{gathered} \gcd(392,686)\\ =\gcd(392,294)\\ =\gcd(294,98)=98. \end{gathered}$

Therefore, the correct answer is C.

1970 AMC 12 第 34 题

答案：C

难度评级：1650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 34 题