Question

定义数列 $x_0=5$ ，且对所有非负整数 $n$ 都成立。设 $m$ 为满足的最小正整数。 $m$ 落在哪个区间内？ $x_{n+1}=\frac{x_n^2+5x_n+4}{x_n+6}$ $x_m\leq 4+\frac{1}{2^{20}}.$

Define a sequence recursively by $x_0=5$ and $x_{n+1}=\frac{x_n^2+5x_n+4}{x_n+6}$ for all nonnegative integers $n.$ Let $m$ be the least positive integer such that $x_m\leq 4+\frac{1}{2^{20}}.$ In which of the following intervals does $m$ lie?

$[9,26]$

$[27,80]$

$[81,242]$

$[243,728]$

$[729,\infty)$

答案：C

知识点：递推不等式极限情形界定

难度评级：2380

解答：

令 $a_n=x_n-4$ ，则 $a_0=1$ 。化简递推式可得只要 $0<a_n\le1$ ，就有 $a_{n+1}=\frac{a_n(a_n+9)}{a_n+10}.$ $\frac9{10}a_n\le a_{n+1}\le\frac{10}{11}a_n.$

由归纳法， $\left(\dfrac9{10}\right)^n\le a_n\le\left(\dfrac{10}{11}\right)^n$ 。当 $n=80$ 时， $\left(\dfrac{10}{9}\right)^{80}<2^{20}$ ，所以 $\left(\dfrac9{10}\right)^{80}>2^{-20}$ ，从而 $m>80$ 。

另一方面， $\left(\dfrac{11}{10}\right)^8>2$ ，所以 $\left(\dfrac{10}{11}\right)^{160}<2^{-20}$ ，从而 $m\le160$ 。于是 $81\le m\le160$ ，所以 $m$ 位于 $[81,242]$ 。正确答案是 C。

Let $a_n=x_n-4$ . Then $a_0=1$ , and simplifying the recurrence gives $a_{n+1}=\frac{a_n(a_n+9)}{a_n+10}.$ As long as $0<a_n\le1$ , this implies $\frac9{10}a_n\le a_{n+1}\le\frac{10}{11}a_n.$

By induction, $\left(\dfrac9{10}\right)^n\le a_n\le\left(\dfrac{10}{11}\right)^n$ . For $n=80$ , $\left(\dfrac{10}{9}\right)^{80}<2^{20}$ , so $\left(\dfrac9{10}\right)^{80}>2^{-20}$ , and therefore $m>80$ .

Also $\left(\dfrac{11}{10}\right)^8>2$ , so $\left(\dfrac{10}{11}\right)^{160}<2^{-20}$ , which gives $m\le160$ . Hence $81\le m\le160$ , so $m$ lies in $[81,242]$ . Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 10B 第 24 题

答案：C

难度评级：2380

解答：

其他年份的第 24 题