Question

设 $x_1 \lt x_2 \lt x_3$ 是方程 $\sqrt{2014}\,x^3 - 4029x^2 + 2 = 0$ 的三个实根。求 $x_2(x_1 + x_3)$ 。

Let $x_1 \lt x_2 \lt x_3$ be the three real roots of the equation $\sqrt{2014}\,x^3 - 4029x^2 + 2 = 0.$ Find $x_2(x_1 + x_3).$

答案

答案：2

知识点：多项式因式分解韦达定理

难度评级：2560

解答：

记 $a = \sqrt{2014}$ ，则方程为 $ax^3 - (2a^2 + 1)x^2 + 2 = 0$ 。它可分解为 $\left(ax - 1\right)\left(x^2 - 2ax - 2\right) = 0,$ 展开即可验证。因此一个根是 $\frac{1}{a}$ ，另外两个根为 $a \pm \sqrt{a^2 + 2}$ ，它们的积为 $-2$ ，和为 $2a$ 。

因为 $a - \sqrt{a^2+2} \lt 0$ $\lt \frac{1}{a} \lt a + \sqrt{a^2+2}$ ，所以中间根为 $x_2 = \frac{1}{a}$ ，且 $x_1 + x_3 = 2a$ 。因此 $x_2(x_1 + x_3) = \frac{1}{a} \cdot 2a = 2$ 。

Write $a = \sqrt{2014},$ so the equation is $ax^3 - (2a^2 + 1)x^2 + 2 = 0.$ It factors as $\left(ax - 1\right)\left(x^2 - 2ax - 2\right) = 0,$ as expanding confirms. So one root is $\frac{1}{a},$ and the other two are $a \pm \sqrt{a^2 + 2},$ with product $-2$ and sum $2a.$

Since $a - \sqrt{a^2+2} \lt 0$ $\lt \frac{1}{a} \lt a + \sqrt{a^2+2},$ the middle root is $x_2 = \frac{1}{a},$ and $x_1 + x_3 = 2a.$ Therefore $x_2(x_1 + x_3) = \frac{1}{a} \cdot 2a = 2.$

2014 AIME I 第 9 题

答案：2

难度评级：2560

解答：

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