2010 AIME I 第 9 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

9.

设

(a, b, c)

是方程组

\begin{aligned} x^3 - xyz &= 2, \\ y^3 - xyz &= 6, \\ z^3 - xyz &= 20 \end{aligned}

的一个实数解。

a^3 + b^3 + c^3

的最大可能值可写成

\frac{m}{n}

，其中

m

和

n

是互质的正整数。求

m + n

。

Let

(a, b, c)

be a real solution of the system of equations

\begin{aligned} x^3 - xyz &= 2, \\ y^3 - xyz &= 6, \\ z^3 - xyz &= 20. \end{aligned}

The greatest possible value of

a^3 + b^3 + c^3

can be written in the form

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

答案

答案：158

知识点：方程组换元法二次方程

难度评级：2740

小提示：

给每个方程加上

xyz

，并令

P = xyz

，得到

x^3 = 2 + P

、

y^3 = 6 + P

、

z^3 = 20 + P

Add

xyz

to each equation and set

P = xyz,

so

x^3 = 2 + P,

y^3 = 6 + P,

z^3 = 20 + P

大提示：

三式相乘得

P^3 = (2+P)(6+P)(20+P)

，这其实是关于

P

的二次方程；注意

x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P

Multiplying the three gives

P^3 = (2+P)(6+P)(20+P),

which is really a quadratic in

P;

note

x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P

解答：

给每个方程加上

xyz

，得

x^3 = 2 + xyz

、

y^3 = 6 + xyz

和

z^3 = 20 + xyz

。令

P = xyz

。三式相乘得到

\begin{aligned} P^3 &= (2 + P)(6 + P)(20 + P) \\ &= P^3 + 28P^2 + 172P + 240 \end{aligned}\text{，}

所以

28P^2 + 172P + 240 = 0

，即

7P^2 + 43P + 60 = 0

，其根为

P = -\frac{15}{7}

和

P = -4

。每个根都能实现：取

2 + P

、

6 + P

、

20 + P

的实立方根，它们的乘积确实为

P

。

将原方程相加，得

x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P

，这在较大的根

P = -\frac{15}{7}

处最大：

a^3 + b^3 + c^3 = 28 - \frac{45}{7} = \frac{151}{7}\text{。}

因此

m + n = 151 + 7 = 158

。

Adding

xyz

to each equation gives

x^3 = 2 + xyz,

y^3 = 6 + xyz,

and

z^3 = 20 + xyz.

Let

P = xyz.

Multiplying the three equations yields

\begin{aligned} P^3 &= (2 + P)(6 + P)(20 + P) \\ &= P^3 + 28P^2 + 172P + 240, \end{aligned}

so

28P^2 + 172P + 240 = 0,

i.e.

7P^2 + 43P + 60 = 0,

whose roots are

P = -\frac{15}{7}

and

P = -4.

Each root is achievable: the cube roots of

2 + P,

6 + P,

20 + P

then really do have product

P.

Adding the original equations,

x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P,

which is maximized by the larger root

P = -\frac{15}{7}:

a^3 + b^3 + c^3 = 28 - \frac{45}{7} = \frac{151}{7}.

Thus

m + n = 151 + 7 = 158.