Question

设 $(a, b, c)$ 是方程组的一个实数解。 $a^3 + b^3 + c^3$ 的最大可能值可写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。 $\begin{aligned} x^3 - xyz &= 2, \\ y^3 - xyz &= 6, \\ z^3 - xyz &= 20. \end{aligned}$

Let $(a, b, c)$ be a real solution of the system of equations $\begin{aligned} x^3 - xyz &= 2, \\ y^3 - xyz &= 6, \\ z^3 - xyz &= 20. \end{aligned}$ The greatest possible value of $a^3 + b^3 + c^3$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：158

知识点：方程组换元法二次方程

难度评级：2740

解答：

给每个方程加上 $xyz$ ，得 $x^3 = 2 + xyz$ 、 $y^3 = 6 + xyz$ ，和 $z^3 = 20 + xyz$ 。令 $P = xyz$ 。三式相乘得到所以 $28P^2 + 172P + 240 = 0$ ，即 $7P^2 + 43P + 60 = 0$ ，其根为 $P = -\frac{15}{7}$ 和 $P = -4$ 。每个根都能实现：取 $2 + P$ 、 $6 + P$ 、 $20 + P$ 的实立方根，它们的乘积确实为 $P$ 。 $\begin{aligned} P^3 &= (2 + P)(6 + P)(20 + P) \\ &= P^3 + 28P^2 + 172P + 240, \end{aligned}$

将原方程相加，得 $x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P$ ，这在较大的根 $P = -\frac{15}{7}$ 处最大：因此 $m + n = 151 + 7 = 158$ 。 $a^3 + b^3 + c^3 = 28 - \frac{45}{7} = \frac{151}{7}.$

Adding $xyz$ to each equation gives $x^3 = 2 + xyz,$ $y^3 = 6 + xyz,$ and $z^3 = 20 + xyz.$ Let $P = xyz.$ Multiplying the three equations yields $\begin{aligned} P^3 &= (2 + P)(6 + P)(20 + P) \\ &= P^3 + 28P^2 + 172P + 240, \end{aligned}$ so $28P^2 + 172P + 240 = 0,$ i.e. $7P^2 + 43P + 60 = 0,$ whose roots are $P = -\frac{15}{7}$ and $P = -4.$ Each root is achievable: the cube roots of $2 + P,$ $6 + P,$ $20 + P$ then really do have product $P.$

Adding the original equations, $x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P,$ which is maximized by the larger root $P = -\frac{15}{7}:$ $a^3 + b^3 + c^3 = 28 - \frac{45}{7} = \frac{151}{7}.$ Thus $m + n = 151 + 7 = 158.$

2010 AIME I 第 9 题

答案：158

难度评级：2740

解答：

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