Question

一个从 $1000$ 到 $9999$ （含两端）的整数，如果它最左边两个数字之和等于最右边两个数字之和，就称为平衡数。有多少个平衡整数？

An integer between $1000$ and $9999,$ inclusive, is called balanced if the sum of its two leftmost digits equals the sum of its two rightmost digits. How many balanced integers are there?

答案

答案：615

知识点：数字分类讨论前n项平方和

难度评级：2430

解答：

按每对数字的共同和 $s$ 分组，其中 $1 \le s \le 18$ 。当 $s \le 9$ 时，最左两位（第一位至少为 $1$ ）可用 $s$ 种方式形成，最右两位可用 $s + 1$ 种方式形成。当 $s \ge 10$ 时，每个数位都至少为 $s - 9$ ，因此每个数位对都有 $19 - s$ 种方式。

总数为 $\begin{aligned} &\sum_{s=1}^{9} s(s+1) + \sum_{s=10}^{18} (19 - s)^2 \\ &= \sum_{s=1}^{9} (s^2 + s) + \sum_{k=1}^{9} k^2 \\ &= 2 \cdot 285 + 45 = 615. \end{aligned}$

Group the balanced integers by the common sum $s$ of each digit pair, where $1 \le s \le 18.$ For $s \le 9,$ the leftmost pair (first digit at least $1$ ) can be formed in $s$ ways and the rightmost pair in $s + 1$ ways. For $s \ge 10,$ both digits of each pair must be at least $s - 9,$ giving $19 - s$ ways for each pair.

The total count is $\begin{aligned} &\sum_{s=1}^{9} s(s+1) + \sum_{s=10}^{18} (19 - s)^2 \\ &= \sum_{s=1}^{9} (s^2 + s) + \sum_{k=1}^{9} k^2 \\ &= 2 \cdot 285 + 45 = 615. \end{aligned}$

2003 AIME I 第 9 题

答案：615

难度评级：2430

解答：

其他年份的第 9 题