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1971 AMC 12 Problema 32

Intenta el Problema 32 del 1971 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1971 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

32.

Si s=(1+2−132)(1+2−116)⋅(1+2−18)(1+2−14)⋅(1+2−12), \begin{aligned} s={}&(1+2^{-\frac{1}{32}})(1+2^{-\frac{1}{16}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{8}})(1+2^{-\frac{1}{4}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{2}}), \end{aligned} entonces ss es igual a:
If s=(1+2−132)(1+2−116)⋅(1+2−18)(1+2−14)⋅(1+2−12), \begin{aligned} s={}&(1+2^{-\frac{1}{32}})(1+2^{-\frac{1}{16}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{8}})(1+2^{-\frac{1}{4}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{2}}), \end{aligned} then ss is equal to:
12(1−2−132)−1\dfrac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}
(1−2−132)−1(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}
1−2−1321-2^{-\frac{1}{32}}
12(1−2−132)\dfrac12(1-2^{-\frac{1}{32}})
12\frac{1}{2}
Respuesta: A
Conceptos:diferencia de cuadradostelescópicaexponente
Nivel de dificultad: 2210
Pista pequeña:
Sea x=2−132x=2^{-\frac{1}{32}}
Set x=2−132x=2^{-\frac{1}{32}}
Pista grande:
Aplica repetidamente la identidad de diferencia de cuadrados hasta el factor 1+x161+x^{16}
Apply the difference-of-squares identity repeatedly through the factor 1+x161+x^{16}
Solución:
Sea x=2−132.x=2^{-\frac{1}{32}}. Entonces (1−x)s=1−x32=1−12=12. \begin{aligned} (1-x)s&=1-x^{32}\\ &=1-\frac12=\frac12. \end{aligned} Por tanto, s=12(1−2−132)−1. s=\frac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Let x=2−132.x=2^{-\frac{1}{32}}. Then (1−x)s=1−x32=1−12=12. \begin{aligned} (1-x)s&=1-x^{32}\\ &=1-\frac12=\frac12. \end{aligned} Therefore s=12(1−2−132)−1. s=\frac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}.
Therefore, the correct answer is A.
Problema 31#31
Examen completo
Problema 33#33

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