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1967 AMC 12 Problema 32

Intenta el Problema 32 del 1967 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1967 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

32.

En el cuadrilátero ABCDABCD, cuyas diagonales ACAC y BDBD se cortan en O,O, se tiene BO=4,BO=4, OD=6,OD=6, AO=8,AO=8, OC=3,OC=3, y AB=6.AB=6. La longitud de ADAD es:
In quadrilateral ABCDABCD with diagonals ACAC and BDBD intersecting at O,O, BO=4,BO=4, OD=6,OD=6, AO=8,AO=8, OC=3,OC=3, and AB=6.AB=6. The length of ADAD is:
99
1010
636\sqrt3
828\sqrt2
166\sqrt{166}
Respuesta: E
Conceptos:ley de los cosenospersecución de ángulos
Nivel de dificultad: 1690
Pista pequeña:
Usa el triángulo AOBAOB para hallar cos⁡∠AOB\cos\angle AOB
Use triangle AOBAOB to find cos⁡∠AOB\cos\angle AOB
Pista grande:
Los ángulos AOBAOB y AODAOD son suplementarios
Angles AOBAOB and AODAOD are supplementary
Solución:
En el triángulo AOB,AOB, cos⁡∠AOB=82+42−622⋅8⋅4=1116. \begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16}. \end{aligned} Por lo tanto, cos⁡∠AOD=−1116.\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}. Al aplicar la ley de los cosenos en el triángulo AODAOD, se obtiene AD2=82+62+2(8)(6)1116=166. \begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166. \end{aligned} Así que AD=166.AD=\sqrt{166}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
In triangle AOB,AOB, cos⁡∠AOB=82+42−622⋅8⋅4=1116. \begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16}. \end{aligned} Therefore cos⁡∠AOD=−1116.\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}. Applying the law of cosines in triangle AODAOD gives AD2=82+62+2(8)(6)1116=166. \begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166. \end{aligned} Hence AD=166.AD=\sqrt{166}.
Therefore, the correct answer is E.
Problema 31#31
Examen completo
Problema 33#33

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