Question

Las longitudes de los lados de un triángulo son enteros, y su área también es un entero. Un lado mide

21

y el perímetro es

48.

El lado más corto mide:

The lengths of the sides of a triangle are integers, and its area is also an integer. One side is

21

and the perimeter is

48.

The shortest side is:

8

10

12

14

16

Escribe los otros lados como

x

y

27-x

, con semiperímetro

24

Write the other sides as

x

and

27-x

, with semiperimeter

24

La fórmula de Herón hace que el área al cuadrado sea

72(24-x)(x-3)

Heron’s formula makes the squared area

72(24-x)(x-3)

Sean los otros lados

x

y

27-x,

con

x\leq27-x.

El semiperímetro es

24,

así que la fórmula de Herón da

\begin{aligned} K^2 &=24\cdot3(24-x)(x-3)\\ &=72(24-x)(x-3). \end{aligned}

Las desigualdades del triángulo dan

4\leq x\leq13.

Al comprobar estos enteros, la expresión no es un cuadrado para

x=4,\ldots,9,

mientras que para

x=10

vale

72\cdot14\cdot7=7056=84^2.

Por tanto, el lado más corto mide

10.

Así, la respuesta correcta es B.

Let the other sides be

x

and

27-x,

with

x\leq27-x.

The semiperimeter is

24,

so Heron’s formula gives

\begin{aligned} K^2 &=24\cdot3(24-x)(x-3)\\ &=72(24-x)(x-3). \end{aligned}

The triangle inequalities give

4\leq x\leq13.

Checking these integers, the expression is not a square for

x=4,\ldots,9,

while at

x=10

it is

72\cdot14\cdot7=7056=84^2.

Thus the shortest side is

10.

Therefore, the correct answer is B.