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1951 AMC 12 Problema 32

Intenta el Problema 32 del 1951 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1951 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

32.

Si △ABC\triangle ABC está inscrito en un semicírculo cuyo diámetro es AB‾,\overline{AB}, entonces AC‾+BC‾\overline{AC}+\overline{BC} debe ser:
If △ABC\triangle ABC is inscribed in a semicircle whose diameter is AB‾,\overline{AB}, then AC‾+BC‾\overline{AC}+\overline{BC} must be:
Igual a AB‾\overline{AB}
Equal to AB‾\overline{AB}
Igual a AB‾2\overline{AB}\sqrt2
Equal to AB‾2\overline{AB}\sqrt2
≥AB‾2\ge \overline{AB}\sqrt2
≤AB‾2\le \overline{AB}\sqrt2
AB‾ 2\overline{AB}^{\,2}
Respuesta: D
Conceptos:triángulo rectánguloDesigualdad de Cauchy-Schwarz
Nivel de dificultad: 1610
Pista pequeña:
El ángulo que subtiende el diámetro es recto
The angle subtending the diameter is a right angle
Pista grande:
Para los catetos a,ba,b, compara (a+b)2(a+b)^2 con 2(a2+b2)2(a^2+b^2)
For legs a,ba,b, compare (a+b)2(a+b)^2 with 2(a2+b2)2(a^2+b^2)
Solución:
Por el teorema de Tales, ACAC y BCBC son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es AB.AB. Por lo tanto, (AC+BC)2≤2(AC2+BC2)=2AB2. \begin{aligned} (AC+BC)^2 &\le2(AC^2+BC^2)\\ &=2AB^2. \end{aligned} Al tomar raíces cuadradas positivas se obtiene AC+BC≤AB2,AC+BC\le AB\sqrt2, con igualdad en un triángulo rectángulo isósceles.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
By Thales’ theorem, ACAC and BCBC are the legs of a right triangle with hypotenuse AB.AB. Therefore (AC+BC)2≤2(AC2+BC2)=2AB2. \begin{aligned} (AC+BC)^2 &\le2(AC^2+BC^2)\\ &=2AB^2. \end{aligned} Taking positive square roots gives AC+BC≤AB2,AC+BC\le AB\sqrt2, with equality for an isosceles right triangle.
Thus, the correct answer is D.
Problema 31#31
Examen completo
Problema 33#33

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