Question

若存在一个正整数 $m$ ，它恰好有四个正因数（包括 $1$ 和 $m$ ），且这四个因数之和等于正整数 $n$ ，则称 $n$ 为“好数”。集合中有多少个好数？ $\{ 2010,2011,2012,\dotsc,2019 \}$

A positive integer $n$ is "nice" if there is a positive integer $m$ with exactly four positive divisors (including $1$ and $m$ ) such that the sum of the four divisors is equal to $n.$ How many numbers in the set $\{ 2010,2011,2012,\dotsc,2019 \}$ are nice?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：A

知识点：因数之和质数分类讨论

难度评级：2180

解答：

恰好有四个正因数的数是 $p^3$ 或 $pq$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是不同素数。

若 $m=p^3$ ，因数和为 $1+p+p^2+p^3$ 。 $p=11$ 与 $p=13$ 的对应值分别低于 $2010$ 和高于 $2019$ ，所以这种情况没有解。

若 $m=pq$ ，因数和为 $1+p+q+pq=(p+1)(q+1)$ 。若其中一个素数为 $2$ ，和可被 $3$ 整除；候选只有 $2010$ 和 $2016$ ，但 $2010/3-1=669$ 、 $2016/3-1=671$ 都不是质数。

若两个素数都是奇数，和可被 $4$ 整除，候选为 $2012$ 和 $2016$ 。 $2012=4\cdot503$ 会给出 $3$ 和 $502$ ，不可行；而 $2016=4\cdot504$ $=(3+1)(503+1)$ 可行。

所以正确答案是 A。

An integer with exactly four positive divisors is either $p^3$ or $pq$ , where $p$ and $q$ are distinct primes.

If $m=p^3$ , the divisor sum is $1+p+p^2+p^3$ . The values for $p=11$ and $p=13$ fall below and above the interval $2010$ to $2019$ , so this case gives none.

In the $m=pq$ case, the divisor sum is $1+p+q+pq=(p+1)(q+1)$ . If one prime is $2$ , the sum is divisible by $3$ ; only $2010$ and $2016$ qualify, but $2010/3-1=669$ and $2016/3-1=671$ are not prime.

If both primes are odd, then the sum is divisible by $4$ , leaving $2012$ and $2016$ . The factorization $2012=4\cdot503$ would give primes $3$ and $502$ , impossible, while $2016=4\cdot504$ $=(3+1)(503+1)$ works.

Thus exactly one number is nice, and the correct answer is A .

2013 AMC 10B 第 24 题

答案：A

难度评级：2180

解答：

其他年份的第 24 题