Question

$2011^{2011}$ 的百位数字是多少？

What is the hundreds digit of $2011^{2011}?$

$1$

$4$

$5$

$6$

$9$

因为 $2011\equiv11\pmod{1000}$ ，只需计算 $11^{2011}=(10+1)^{2011}$ 在模 $1000$ 下的值。

含 $10^3$ 或更高幂的项都能被 $1000$ 整除，所以只需前三项： $1+2011\cdot10+\binom{2011}{2}10^2.$

模 $1000$ 下，这等于。 $\begin{aligned} &1+11\cdot10+\dfrac{2011\cdot2010}{2}\cdot100 \\ &\quad \equiv1+110+500=611 \end{aligned}$

因此百位数字为 $6$ 。

所以正确答案是 D。

Because $2011\equiv11\pmod{1000}$ , it is enough to find $11^{2011}=(10+1)^{2011}$ modulo $1000$ .

All terms with $10^3$ or higher are divisible by $1000$ , so only the first three terms matter: $1+2011\cdot10+\binom{2011}{2}10^2.$

Modulo $1000$ , this is $\begin{aligned} &1+11\cdot10+\dfrac{2011\cdot2010}{2}\cdot100 \\ &\quad \equiv1+110+500=611 \end{aligned}$ .

The hundreds digit is therefore $6$ .

Thus, D is the correct answer.