2011 AMC 10B 第 23 题

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23.

2011^{2011}

的百位数字是多少？

What is the hundreds digit of

2011^{2011}?

1

4

5

6

9

答案：D

知识点：模幂运算二项式定理

难度评级：1820

小提示：

在模

1000

下计算。

Work modulo

1000

大提示：

在

(10+1)^{2011}

中，含

10^3

或更高次幂的项不影响最后三位。

In

(10+1)^{2011}

, terms with

10^3

or higher do not affect the last three digits

解答：

因为

2011\equiv11\pmod{1000}

，只需计算

11^{2011}=(10+1)^{2011}

在模

1000

下的值。

含

10^3

或更高幂的项都能被

1000

整除，所以只需前三项：

1+2011\cdot10+\binom{2011}{2}10^2\text{。}

模

1000

下，这等于

\begin{aligned} &1+11\cdot10+\dfrac{2011\cdot2010}{2}\cdot100 \\ &\quad \equiv1+110+500=611 \end{aligned}\text{。}

因此百位数字为

6

。

所以正确答案是 D。

Because

2011\equiv11\pmod{1000}

, it is enough to find

11^{2011}=(10+1)^{2011}

modulo

1000

.

All terms with

10^3

or higher are divisible by

1000

, so only the first three terms matter:

1+2011\cdot10+\binom{2011}{2}10^2.

Modulo

1000

, this is

\begin{aligned} &1+11\cdot10+\dfrac{2011\cdot2010}{2}\cdot100 \\ &\quad \equiv1+110+500=611 \end{aligned}

.

The hundreds digit is therefore

6

.

Thus, D is the correct answer.