Question

令 $n$ 表示最小的正整数，它能同时被 $4$ 和 $9$ 整除，且 $10$ 进制表示只由数字 $4$ 和 $9$ 组成，并且两种数字至少各出现一次。 $n$ 的最后四位数字是什么？

Let $n$ denote the smallest positive integer that is divisible by both $4$ and $9,$ and whose base- $10$ representation consists of only $4$ 's and $9$ 's, with at least one of each. What are the last four digits of $n?$

$4444$

$4494$

$4944$

$9444$

$9944$

答案：C

知识点：整除性数字最优化

难度评级：1980

解答：

因为 $n$ 能被 $9$ 整除，其数字和是 $9$ 的倍数。若有 $k$ 个数字四和 $m$ 个数字九，数字和为 $4k+9m$ ，所以 $9\mid 4k$ ，迫使 $9\mid k$ 。因此 $k\ge 9$ ，并且至少有一个 $9$ ，这个数至少有十位。

要被 $4$ 整除，最后两位必须组成 $4$ 的倍数。在 $44,49,94, 99$ 中，只有 $44$ 可行，所以 $n$ 以 $44$ 结尾。

最小的这样十位数把唯一的 $9$ 放在最低的可用数位上，得到 $4{,}444{,}444{,}944$ ，最后四位是 $4944$ 。

所以正确答案是 C。

Since $n$ is divisible by $9,$ its digit sum is a multiple of $9.$ With $k$ fours and $m$ nines, the digit sum is $4k+9m,$ so $9\mid 4k,$ forcing $9\mid k.$ Thus $k\ge 9,$ and with at least one $9,$ the number has at least ten digits.

For divisibility by $4,$ the last two digits must form a multiple of $4,$ and among $44,49,94, 99$ only $44$ works, so $n$ ends in $44.$

The smallest such ten-digit number places the single $9$ in the lowest available position, giving $4{,}444{,}444{,}944.$ Its last four digits are $4944.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 10B 第 24 题

答案：C

难度评级：1980

解答：

其他年份的第 24 题