2004 AMC 10B 第 19 题

Question

在数列

2001

、

2002

、

2003

、

\ldots

中，第三项之后每一项等于前面两项的和减去紧前一项。例如第四项为

2001 + 2002 - 2003 = 2000

。这个数列的第

2004

项是多少？

In the sequence

2001,

2002,

2003,

\ldots,

each term after the third is found by subtracting the previous term from the sum of the two terms that precede that term. For example, the fourth term is

2001 + 2002 - 2003 = 2000.

What is the

2004

th term in this sequence?

-2004

-2

0

4003

6007

答案：C

知识点：递推等差数列找规律

难度评级：1460

小提示：

写出若干项：

2001

、

2002

、

2003

、

2000

、

2005

、

1998

、

\ldots

Write out several terms:

2001,

2002,

2003,

2000,

2005,

1998,

\ldots

大提示：

偶数位置的项每次减少

2

。

The even-position terms decrease by

2

each time

解答：

递推式

a_{k+1} = a_{k-2} + a_{k-1} - a_k

给出

a_{k+1} - a_{k-1} = -(a_k - a_{k-2})

。数列开头为

2001

、

2002

、

2003

、

2000

、

2005

、

1998

、

\ldots

。

因此偶数位置项形成等差数列

2002, 2000, 1998, \ldots

，公差为

-2

。第

2004

项是这个等差数列的第

1002

项，即

2002 + 1001(-2) = 0

。

所以正确答案是 C。

The recurrence

a_{k+1} = a_{k-2} + a_{k-1} - a_k

gives

a_{k+1} - a_{k-1} = -(a_k - a_{k-2}).

The sequence begins

2001,

2002,

2003,

2000,

2005,

1998,

\ldots

So the even-position terms form the arithmetic sequence

2002, 2000, 1998, \ldots

with common difference

-2.

The

2004

th term is its

1002

nd term,

2002 + 1001(-2) = 0.

Thus, the correct answer is C.

2004 AMC 10B 第 19 题

答案：C

难度评级：1460

小提示：

大提示：

解答：

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