2000 AMC 10 第 24 题

Question

设

f

为满足

f\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1

的函数。求

z

的所有可能值之和，其中

f(3z) = 7

。

Let

f

be a function for which

f\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.

Find the sum of all values of

z

for which

f(3z) = 7.

-\dfrac13

-\dfrac19

0

\dfrac59

\dfrac53

答案：B

知识点：函数换元法韦达定理

难度评级：1690

小提示：

要计算所求函数值，可令

\dfrac{x}{3} = 3z

，所以

x = 9z

。

To make

\dfrac{x}{3} = 3z,

set

x = 9z

大提示：

这样会得到关于

z

的二次方程；用根和公式

-\dfrac{b}{a}

。

This gives a quadratic in

z;

use the sum-of-roots formula

-\dfrac{b}{a}

解答：

为了计算

f(3z)

，令

\dfrac{x}{3} = 3z

，所以

x = 9z

。于是

\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1 \end{aligned}\text{。}

令它等于

7

，得到

81z^2 + 9z - 6 = 0

。

由根和公式，所有

z

的和为

-\dfrac{9}{81} = -\dfrac19

。

所以正确答案是 B。

To evaluate

f(3z),

set

\dfrac{x}{3} = 3z,

so

x = 9z.

Then

\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1. \end{aligned}

Setting this equal to

7

gives

81z^2 + 9z - 6 = 0.

By the sum-of-roots formula, the sum of the values of

z

is

-\dfrac{9}{81} = -\dfrac19.

Thus, the correct answer is B.

2000 AMC 10 第 24 题

答案：B

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题