Question

设函数 $f$ 满足 $f\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1$ 求所有满足 $f(3z) = 7$ 的 $z$ 的和。

Let $f$ be a function for which $f\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.$ Find the sum of all values of $z$ for which $f(3z) = 7.$

$-\dfrac13$

$-\dfrac19$

$0$

$\dfrac59$

$\dfrac53$

为了计算 $f(3z)$ ，令 $\dfrac{x}{3} = 3z$ ，所以 $x = 9z$ 于是 $\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1. \end{aligned}$

令它等于 $7$ ，得到 $81z^2 + 9z - 6 = 0$ 。

由根和公式，所有 $z$ 的和为 $-\dfrac{9}{81} = -\dfrac19$ 。

所以正确答案是 B。

To evaluate $f(3z),$ set $\dfrac{x}{3} = 3z,$ so $x = 9z.$ Then $\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1. \end{aligned}$

Setting this equal to $7$ gives $81z^2 + 9z - 6 = 0.$

By the sum-of-roots formula, the sum of the values of $z$ is $-\dfrac{9}{81} = -\dfrac19.$

Thus, the correct answer is B.