2019 AIME II 第 6 题

Question

在一个火星文明中，所有未注明底数的对数都默认以某个固定的

b

为底，其中

b \ge 2

。一名火星学生写下方程组

3\log(\sqrt{x}\log x) = 56

\log_{\log x}(x) = 54

并发现这个方程组有唯一实数解

x \gt 1

。求

b

。

In a Martian civilization, all logarithms whose bases are not specified are assumed to be base

b,

for some fixed

b \ge 2.

A Martian student writes down

3\log(\sqrt{x}\log x) = 56

\log_{\log x}(x) = 54

and finds that this system of equations has a single real number solution

x \gt 1.

Find

b.

答案

答案：216

知识点：对数方程组换元法

难度评级：2400

小提示：

令

y = \log_b x

；由换底公式，第二个方程给出

\log_b y = \frac{y}{54}

Let

y = \log_b x;

by the change-of-base formula the second equation says

\log_b y = \frac{y}{54}

大提示：

第一个方程变为

\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3}

；代入

\log_b y = \frac{y}{54}

并解出

y

The first equation becomes

\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3};

substitute

\log_b y = \frac{y}{54}

and solve for

y

解答：

令

y = \log_b x

。由换底公式，

\begin{aligned} \log_{\log x}(x) &= \frac{\log_b x}{\log_b(\log_b x)} \\ &= \frac{y}{\log_b y} = 54 \end{aligned}\text{，}

所以

\log_b y = \frac{y}{54}

。第一个方程表示

3\left(\frac{1}{2}\log_b x + \log_b(\log_b x)\right) = 56

，也就是

\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3}

。

代入

\log_b y = \frac{y}{54}

，得到

\frac{y}{2} + \frac{y}{54} = \frac{56}{3}

，所以

\frac{28y}{54} = \frac{56}{3}

，

y = 36

。于是

\log_b 36 = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}

，所以

b^{\frac{2}{3}} = 36

，从而

b = 36^{\frac{3}{2}} = 216

。

Let

y = \log_b x.

By the change-of-base formula,

\begin{aligned} \log_{\log x}(x) &= \frac{\log_b x}{\log_b(\log_b x)} \\ &= \frac{y}{\log_b y} = 54, \end{aligned}

so

\log_b y = \frac{y}{54}.

The first equation says

3\left(\frac{1}{2}\log_b x + \log_b(\log_b x)\right) = 56,

that is,

\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3}.

Substituting

\log_b y = \frac{y}{54}

gives

\frac{y}{2} + \frac{y}{54} = \frac{56}{3},

so

\frac{28y}{54} = \frac{56}{3}

and

y = 36.

Then

\log_b 36 = \frac{36}{54} = \frac{2}{3},

so

b^{\frac{2}{3}} = 36

and

b = 36^{\frac{3}{2}} = 216.

2019 AIME II 第 6 题

答案：216

难度评级：2400

小提示：

大提示：

解答：

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