Question

在一个火星文明中，所有未注明底数的对数都默认以某个固定的 $b \ge 2$ 为底。一名火星学生写下方程组并发现这个方程组有唯一实数解 $x \gt 1$ 。求这个底数 $b$ ，也就是求 $b$ 。 $3\log(\sqrt{x}\log x) = 56$ $\log_{\log x}(x) = 54$

In a Martian civilization, all logarithms whose bases are not specified are assumed to be base $b,$ for some fixed $b \ge 2.$ A Martian student writes down $3\log(\sqrt{x}\log x) = 56$ $\log_{\log x}(x) = 54$ and finds that this system of equations has a single real number solution $x \gt 1.$ Find $b.$

答案

答案：216

知识点：对数方程组换元法

难度评级：2400

解答：

令 $y = \log_b x$ 。由换底公式，所以 $\log_b y = \frac{y}{54}$ 。第一个方程表示 $3\left(\frac{1}{2}\log_b x + \log_b(\log_b x)\right) = 56$ ，也就是 $\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3}$ 。 $\begin{aligned} \log_{\log x}(x) &= \frac{\log_b x}{\log_b(\log_b x)} \\ &= \frac{y}{\log_b y} = 54, \end{aligned}$

代入 $\log_b y = \frac{y}{54}$ ，得到 $\frac{y}{2} + \frac{y}{54} = \frac{56}{3}$ ，所以 $\frac{28y}{54} = \frac{56}{3}$ ， $y = 36$ 。于是 $\log_b 36 = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$ ，所以 $b^{2/3} = 36$ ，从而 $b = 36^{3/2} = 216$ 。

Let $y = \log_b x.$ By the change-of-base formula, $\begin{aligned} \log_{\log x}(x) &= \frac{\log_b x}{\log_b(\log_b x)} \\ &= \frac{y}{\log_b y} = 54, \end{aligned}$ so $\log_b y = \frac{y}{54}.$ The first equation says $3\left(\frac{1}{2}\log_b x + \log_b(\log_b x)\right) = 56,$ that is, $\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3}.$

Substituting $\log_b y = \frac{y}{54}$ gives $\frac{y}{2} + \frac{y}{54} = \frac{56}{3},$ so $\frac{28y}{54} = \frac{56}{3}$ and $y = 36.$ Then $\log_b 36 = \frac{36}{54} = \frac{2}{3},$ so $b^{2/3} = 36$ and $b = 36^{3/2} = 216.$

2019 AIME II 第 6 题

答案：216

难度评级：2400

解答：

其他年份的第 6 题