Question

设 $\mathcal{S}$ 为所有能表示成循环小数 $0.\overline{abc}$ 的实数组成的集合，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 是互不相同的数字。求 $\mathcal{S}$ 中所有元素的和。

Let $\mathcal{S}$ be the set of real numbers that can be represented as repeating decimals of the form $0.\overline{abc}$ where $a,$ $b,$ $c$ are distinct digits. Find the sum of the elements of $\mathcal{S}.$

答案

答案：360

知识点：循环小数数字对称性

难度评级：2300

解答：

每个元素等于 $0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999}$ ，互异数字的有序三元组共有 $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ 个。由对称性，数字 $0$ 到 $9$ 中每一个在三个位置上都恰好出现 $\frac{720}{10} = 72$ 次。

因此分子总和为 $\begin{aligned} &72 (0 + 1 + \cdots + 9) \\ &\quad {}\cdot (100 + 10 + 1) \\ &= 72 \cdot 45 \cdot 111 = 359640, \end{aligned}$ 所以所有元素的和为 $\frac{359640}{999} = 360$ 。

Each element equals $0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999},$ and there are $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ ordered triples of distinct digits. By symmetry, each digit $0$ through $9$ appears in each of the three positions exactly $\frac{720}{10} = 72$ times.

The numerators therefore total $\begin{aligned} &72 (0 + 1 + \cdots + 9) \\ &\quad {}\cdot (100 + 10 + 1) \\ &= 72 \cdot 45 \cdot 111 = 359640, \end{aligned}$ so the sum of the elements is $\frac{359640}{999} = 360.$

2006 AIME I 第 6 题

答案：360

难度评级：2300

解答：

其他年份的第 6 题