2006 AIME I 第 6 题

Question

设

\mathcal{S}

为所有能表示成循环小数

0.\overline{abc}

的实数组成的集合，其中

a

、

b

、

c

是互不相同的数字。求

\mathcal{S}

中所有元素的和。

Let

\mathcal{S}

be the set of real numbers that can be represented as repeating decimals of the form

0.\overline{abc}

where

a,

b,

c

are distinct digits. Find the sum of the elements of

\mathcal{S}.

答案

答案：360

知识点：循环小数数字对称性

难度评级：2300

小提示：

0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999}

，且共有

10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

个元素要相加

0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999},

and there are

10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

elements to add

大提示：

由对称性，数字

0

到

9

中每一个在三个位置上都恰好出现

72

次

By symmetry each digit

0

through

9

appears exactly

72

times in each of the three positions

解答：

每个元素等于

0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999}

，互异数字的有序三元组共有

10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

个。由对称性，数字

0

到

9

中每一个在三个位置上都恰好出现

\frac{720}{10} = 72

次。

因此分子总和为

\begin{aligned} &72 (0 + 1 + \cdots + 9) \\ &\quad {}\cdot (100 + 10 + 1) \\ &= 72 \cdot 45 \cdot 111 = 359640 \end{aligned}\text{，}

所以所有元素的和为

\frac{359640}{999} = 360

。

Each element equals

0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999},

and there are

10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

ordered triples of distinct digits. By symmetry, each digit

0

through

9

appears in each of the three positions exactly

\frac{720}{10} = 72

times.

The numerators therefore total

\begin{aligned} &72 (0 + 1 + \cdots + 9) \\ &\quad {}\cdot (100 + 10 + 1) \\ &= 72 \cdot 45 \cdot 111 = 359640, \end{aligned}

so the sum of the elements is

\frac{359640}{999} = 360.

2006 AIME I 第 6 题

答案：360

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

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