Question

考虑多项式 $P(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x$ 和 $Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1$ 。已知 $z_1$ ， $z_2$ ， $z_3$ ， $z_4$ 是方程 $Q(x) = 0$ 的根，求 $P(z_1) + P(z_2) + P(z_3) + P(z_4)$ 。

Consider the polynomials $P(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x$ and $Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1.$ Given that $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ and $z_4$ are the roots of $Q(x) = 0,$ find $P(z_1) + P(z_2) + P(z_3) + P(z_4).$

答案

答案：6

知识点：多项式韦达定理

难度评级：2400

解答：

多项式除法给出 $\begin{aligned} &P(x) = Q(x)\,(x^2 + 1) \\ &\quad {}+ x^2 - x + 1, \end{aligned}$ 因此对 $Q$ 的每个根 $z_i$ 都有 $P(z_i) = z_i^2 - z_i + 1$

由 $Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1$ 的韦达定理， $\sum z_i = 1$ 且 $\sum_{i \lt j} z_i z_j = -1$ ，所以 $\sum z_i^2 = \left(\sum z_i\right)^2 - 2\sum_{i \lt j} z_i z_j$ $= 1 + 2 = 3$ 。因此 $\sum_{i=1}^4 P(z_i) = 3 - 1 + 4 = 6.$

Polynomial division gives $\begin{aligned} &P(x) = Q(x)\,(x^2 + 1) \\ &\quad {}+ x^2 - x + 1, \end{aligned}$ so $P(z_i) = z_i^2 - z_i + 1$ for each root $z_i$ of $Q.$

By Vieta's formulas for $Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1,$ we have $\sum z_i = 1$ and $\sum_{i \lt j} z_i z_j = -1,$ so $\sum z_i^2 = \left(\sum z_i\right)^2 - 2\sum_{i \lt j} z_i z_j$ $= 1 + 2 = 3.$ Therefore $\sum_{i=1}^4 P(z_i) = 3 - 1 + 4 = 6.$

2003 AIME II 第 9 题

答案：6

难度评级：2400

解答：

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