Question

在三角形 $ABC$ 中， $AB = 13$ 、 $BC = 15$ 、 $CA = 17$ 点 $D$ 在 $\overline{AB}$ 上，点 $E$ 在 $\overline{BC}$ 上，点 $F$ 在 $\overline{CA}$ 上。令 $AD = p \cdot AB$ 、 $BE = q \cdot BC$ 、 $CF = r \cdot CA$ ，其中 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 为正数，且满足 $p + q + r = \frac{2}{3}$ 和 $p^2 + q^2 + r^2 = \frac{2}{5}$ 三角形 $DEF$ 与三角形 $ABC$ 的面积比可写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

In triangle $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 15,$ and $CA = 17.$ Point $D$ is on $\overline{AB},$ $E$ is on $\overline{BC},$ and $F$ is on $\overline{CA}.$ Let $AD = p \cdot AB,$ $BE = q \cdot BC,$ and $CF = r \cdot CA,$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive and satisfy $p + q + r = \frac{2}{3}$ and $p^2 + q^2 + r^2 = \frac{2}{5}.$ The ratio of the area of triangle $DEF$ to the area of triangle $ABC$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：61

知识点：面积比对称性（代数）代数变形

难度评级：2560

解答：

每个角上的小三角形面积都是对应边长比例的乘积： $[ADF] = p(1-r)[ABC]$ 、 $[BED] = q(1-p)[ABC]$ 、 $[CFE] = r(1-q)[ABC]$ 。这里使用的是共用角下的 $\frac{1}{2}xy\sin\theta$ 面积公式。相减得 $\begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &= 1 - p(1-r) \\ &\quad {}- q(1-p) - r(1-q) \\ &= 1 - (p+q+r) \\ &\quad {}+ (pq+qr+rp). \end{aligned}$

由题给条件， $pq + qr + rp = \frac{(2/3)^2 - 2/5}{2}$ $= \frac{4/9 - 2/5}{2}$ $= \frac{1}{45}$ 。

因此面积比为 $1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{45} = \frac{16}{45}$ ，所以 $m + n = 16 + 45 = 61$ 。

Each corner triangle's area is a product of side fractions: $[ADF] = p(1-r)[ABC],$ $[BED] = q(1-p)[ABC],$ and $[CFE] = r(1-q)[ABC],$ using the formula $\frac{1}{2}xy\sin\theta$ on the shared angles. Subtracting, $\begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &= 1 - p(1-r) \\ &\quad {}- q(1-p) - r(1-q) \\ &= 1 - (p+q+r) \\ &\quad {}+ (pq+qr+rp). \end{aligned}$

From the given values, $pq + qr + rp = \frac{(2/3)^2 - 2/5}{2}$ $= \frac{4/9 - 2/5}{2}$ $= \frac{1}{45}.$

Therefore the ratio is $1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{45} = \frac{16}{45},$ and $m + n = 16 + 45 = 61.$

2001 AIME I 第 9 题

答案：61

难度评级：2560

解答：

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