1998 AIME 第 9 题

Question

两位数学家每天上午都喝咖啡休息。他们独立地在上午

9

点到

10

点之间的随机时刻到达自助餐厅，并停留恰好

m

分钟。其中一人到达时另一人正在自助餐厅的概率为

40\%

，且

m = a - b\sqrt{c}

，其中

a

、

b

和

c

是正整数，且

c

不被任何质数的平方整除。求

a + b + c

。

Two mathematicians take a morning coffee break each day. They arrive at the cafeteria independently, at random times between

9

a.m. and

10

a.m., and stay for exactly

m

minutes. The probability that either one arrives while the other is in the cafeteria is

40\%,

and

m = a - b\sqrt{c},

where

a,

b,

and

c

are positive integers, and

c

is not divisible by the square of any prime. Find

a + b + c.

答案

答案：87

知识点：几何概率对立事件概率

难度评级：2400

小提示：

把两人的到达时间画成

60 \times 60

正方形中的一个点；他们相遇当且仅当

|x - y| \lt m

Plot the two arrival times as a point in a

60 \times 60

square; they meet exactly when

|x - y| \lt m

大提示：

补集由两个直角三角形组成，合起来面积等于一个边长为

60 - m

的正方形，所以

(60 - m)^2 = \frac{3}{5} \cdot 3600

The complement consists of two right triangles that fit together into a square of side

60 - m,

so

(60 - m)^2 = \frac{3}{5} \cdot 3600

解答：

令两人的到达时间分别为

x

分钟和

y

分钟，单位是上午

9

点后的分钟，则

(x, y)

在一个

60 \times 60

的正方形中均匀分布。两人相遇当且仅当

|x - y| \lt m

。

不相遇区域

|x - y| \ge m

由两个直角边长为

60 - m

的直角三角形组成，总面积为

(60 - m)^2

。相遇概率为

40\%

，意味着

(60 - m)^2 = 0.6 \cdot 3600 = 2160\text{，}

所以

60 - m = \sqrt{2160} = 12\sqrt{15}

。

因此

m = 60 - 12\sqrt{15}

，且

a + b + c = 60 + 12 + 15 = 87

。

Let the arrival times be

x

and

y

minutes after

9

a.m., so

(x, y)

is uniform in a

60 \times 60

square. The two people meet exactly when

|x - y| \lt m.

The non-meeting region

|x - y| \ge m

consists of two right triangles with legs

60 - m,

with total area

(60 - m)^2.

Meeting with probability

40\%

means

(60 - m)^2 = 0.6 \cdot 3600 = 2160,

so

60 - m = \sqrt{2160} = 12\sqrt{15}.

Thus

m = 60 - 12\sqrt{15},

and

a + b + c = 60 + 12 + 15 = 87.

1998 AIME 第 9 题

答案：87

难度评级：2400

小提示：

大提示：

解答：

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