Question

如图所示，从三角形 $ABC$ 的各顶点作经过同一内部点的直线，将它分成六个小三角形。其中四个三角形的面积已标在图中。求三角形 $ABC$ 的面积。

As shown in the figure, triangle $ABC$ is divided into six smaller triangles by lines drawn from the vertices through a common interior point. The areas of four of these triangles are as indicated. Find the area of triangle $ABC.$

答案

答案：315

知识点：三角形面积面积比塞瓦定理

难度评级：2440

小提示：

将右上方未标出的面积记为 $x$ ，将左上方未标出的面积记为 $y$

Call the upper-right unlabeled area $x$ and the upper-left unlabeled area $y$

大提示：

结合等高三角形的面积比与塞瓦定理

Use equal-altitude area ratios along the sides, together with Ceva’s theorem

解答：

将右上方和左上方两个未标出的面积分别记为 $x$ 和 $y$ 。由三个分边比和塞瓦定理可得 $\frac43\cdot\frac{35}{x}\cdot\frac{84}{y}=1\text{，}$ 所以 $xy=3920$ 。

从 $A$ 引出的塞瓦线与 $BC$ 相交。 $BC$ 上两段的长度比为 $\frac{35}{x}$ 。利用以 $A$ 为共同顶点的两个大三角形计算同一个比值，得到 $\frac{35}{x}=\frac{40+30+35}{x+y+84}\text{，}$ 因而 $y+84=2x$ 。与 $xy=3920$ 联立求解，得 $x=70$ ，且 $y=56$ 。因此 $\begin{aligned} [ABC]&=84+70+35\\ &\quad{}+30+40+56=315 \end{aligned}\text{。}$

Let the unlabeled upper-right and upper-left areas be $x$ and $y,$ respectively. The three side-division ratios and Ceva’s theorem give $\frac43\cdot\frac{35}{x}\cdot\frac{84}{y}=1,$ so $xy=3920.$

The cevian from $A$ meets $BC.$ The ratio of the two segments of $BC$ is $\frac{35}{x}.$ Computing the same ratio from the two large triangles with vertex $A$ gives $\frac{35}{x}=\frac{40+30+35}{x+y+84},$ so $y+84=2x.$ Solving with $xy=3920$ yields $x=70$ and $y=56.$ Therefore $\begin{aligned} [ABC]&=84+70+35\\ &\quad{}+30+40+56=315. \end{aligned}$

1985 AIME 第 6 题

答案：315

难度评级：2440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题