Question

Sea

\begin{aligned} (1+x+x^2)^n &=a_0+a_1x\\ &\quad+a_2x^2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x^{2n} \end{aligned}

una identidad en

x.

Si tomamos

s=a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n},

entonces

s

es igual a:

Let

\begin{aligned} (1+x+x^2)^n &=a_0+a_1x\\ &\quad+a_2x^2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x^{2n} \end{aligned}

be an identity in

x.

If we let

s=a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n},

then

s

equals:

2^n

2^n+1

\dfrac{3^n-1}{2}

\dfrac{3^n}{2}

\dfrac{3^n+1}{2}

Evalúa el polinomio en

x=1

y

x=-1

Evaluate the polynomial at

x=1

and

x=-1

Al sumar esos dos valores se cancelan todos los coeficientes de grado impar

Adding those two values cancels all odd-degree coefficients

Sea

P(x)=(1+x+x^2)^n.

Entonces

P(1)=3^n

es la suma de todos los coeficientes, mientras que

P(-1)=1

es la suma de los coeficientes pares menos la de los impares. Por lo tanto,

s=\frac{P(1)+P(-1)}2=\frac{3^n+1}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

P(x)=(1+x+x^2)^n.

Then

P(1)=3^n

is the sum of all coefficients, while

P(-1)=1

is the even-coefficient sum minus the odd-coefficient sum. Therefore

s=\frac{P(1)+P(-1)}2=\frac{3^n+1}{2}.

Therefore, the correct answer is E.