Question

用一个两位数 $N$ 减去数字倒序所得的数，结果是一个正的完全立方数。则：

From a two-digit number $N$ we subtract the number with the digits reversed and find that the result is a positive perfect cube. Then:

$N$ 的个位不能是 $5$

$N$ cannot end in $5$

$N$ 的个位可以是除 $5$ 外的任意数字

$N$ can end in any digit other than $5$

这样的 $N$ 不存在

$N$ does not exist

恰有 $7$ 个 $N$ 值

there are exactly $7$ values for $N$

恰有 $10$ 个 $N$ 值

there are exactly $10$ values for $N$

答案：D

知识点：数字完全幂系统列举

难度评级：1630

小提示：

若两个数字满足 $a>b$ ，则原数与倒序数之差为 $9(a-b)$

If the digits are $a>b,$ the difference from the reversal is $9(a-b)$

大提示：

差至多为 $81$ ，所以检查不大于 $81$ 的正完全立方数

The difference is at most $81,$ so test the positive cubes no larger than $81$

解答：

写成 $N=10a+b$ ，正的差为 $\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)\\ &\quad=9(a-b) \end{aligned}\text{。}$ 它至多为 $81$ 。在 $1$ 、 $8$ 、 $27$ 和 $64$ 中，只有 $27$ 能被 $9$ 整除，所以 $a-b=3$ 。数字对为 $\begin{gathered} (3,0),(4,1),(5,2),(6,3),\\ (7,4),(8,5),(9,6) \end{gathered}\text{，}$ 因而恰有七个 $N$ 值。

因此，正确答案是 D。

Writing $N=10a+b,$ the positive difference is $\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)\\ &\quad=9(a-b). \end{aligned}$ It is at most $81.$ Among $1,$ $8,$ $27,$ and $64,$ only $27$ is divisible by $9,$ so $a-b=3.$ The digit pairs are $\begin{gathered} (3,0),(4,1),(5,2),(6,3),\\ (7,4),(8,5),(9,6), \end{gathered}$ giving exactly seven values of $N.$

Thus, the correct answer is D.

1957 AMC 12 第 38 题

答案：D

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 38 题