1955 AMC 12 第 40 题

Question

若

b\ne d

，在下列哪种情况下，分式

\dfrac{ax+b}{cx+d}

与

\dfrac bd

不相等？

If

b\ne d,

the fractions

\dfrac{ax+b}{cx+d}

and

\dfrac bd

are unequal if:

a=c=1

且

x\ne0

a=c=1

and

x\ne0

a=b=0

a=c=0

x=0

ad=bc

对等式

\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{b}{d}

交叉相乘

Cross-multiply the equality

\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{b}{d}

化简后，等式是否成立由

x(ad-bc)=0

决定

After cancellation, equality is governed by

x(ad-bc)=0

在两个分式都有定义的地方，若它们相等，则必须有

d(ax+b)=b(cx+d)\text{，}

化简为

x(ad-bc)=0

。在选项 A 中，

a=c=1

给出

ad-bc=d-b\ne0

，且

x\ne0

，所以两分式不可能相等。选项 B 至 E 中的每一个反而都直接保证两式相等。

因此，在选项 A 的条件下，两分式不相等。

Where the fractions are defined, equality would require

d(ax+b)=b(cx+d),

which simplifies to

x(ad-bc)=0.

Under choice A,

a=c=1

gives

ad-bc=d-b\ne0,

and

x\ne0,

so equality is impossible. Each of B through E instead forces equality directly.

Thus, the fractions are unequal under choice A.

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