2024 AMC 10B 第 24 题

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24.

令

\begin{aligned} P(m) &= \frac{m}{2} + \frac{m^2}{4} \\ &\quad {}+ \frac{m^4}{8} + \frac{m^8}{8} \end{aligned}\text{。}

P(2022)

、

P(2023)

、

P(2024)

和

P(2025)

中有多少个值是整数？

Let

\begin{aligned} P(m) &= \frac{m}{2} + \frac{m^2}{4} \\ &\quad {}+ \frac{m^4}{8} + \frac{m^8}{8}. \end{aligned}

How many of the values of

P(2022),

P(2023),

P(2024),

and

P(2025)

are integers?

0

1

2

3

4

答案：E

知识点：模运算奇偶性分类讨论

难度评级：2380

小提示：

通分到分母

8

，得到

P(m) = \dfrac{4m + 2m^2 + m^4 + m^8}{8}

。

Over the common denominator

8,

P(m) = \dfrac{4m + 2m^2 + m^4 + m^8}{8}

大提示：

分别对偶数和奇数

m

检查

4m + 2m^2 + m^4 + m^8 \pmod 8

。

Check

4m + 2m^2 + m^4 + m^8 \pmod 8

separately for even and odd

m

解答：

通分到

8

：

P(m) = \dfrac{m^8 + m^4 + 2m^2 + 4m}{8}

。若

m

为偶数，分子每一项都被

8

整除。若

m

为奇数，则

m^2 \equiv m^4 \equiv m^8 \equiv 1

且

4m \equiv 4 \pmod 8

，所以分子为

1 + 1 + 2 + 4 = 8 \equiv 0 \pmod 8

。两种情况下

P(m)

都是整数，因此

4

个值全是整数。正确答案是 E。

Put everything over

8:

P(m) = \dfrac{m^8 + m^4 + 2m^2 + 4m}{8}.

If

m

is even, every term up top is divisible by

8.

If

m

is odd, then

m^2 \equiv m^4 \equiv m^8 \equiv 1

and

4m \equiv 4 \pmod 8,

so the numerator is

1 + 1 + 2 + 4 = 8 \equiv 0 \pmod 8.

Either way

P(m)

is an integer, so all

4

values are integers. Therefore, the answer is E.